Номер 176, страница 58, часть 2 - гдз по алгебре 7-9 класс учебник Высоцкий, Ященко

176 Сколько существует последовательностей, в которых 4 буквы У, а остальные буквы Н, если всего в последовательностях:

а) 11 букв;

б) 12 букв;

в) 15 букв;

г) 20 букв?

Эта задача является классической задачей комбинаторики на перестановки с повторениями. Нам необходимо найти количество различных последовательностей, которые можно составить из 4 одинаковых букв 'У' и некоторого количества одинаковых букв 'Н'.

Общее количество таких последовательностей можно найти, определив, сколькими способами можно выбрать 4 позиции для букв 'У' из общего числа позиций $n$. Остальные позиции автоматически будут заняты буквами 'Н'. Для этого используется формула числа сочетаний: $C_n^k = \binom{n}{k} = \frac{n!}{k!(n-k)!}$, где $n$ — общее количество букв в последовательности, а $k$ — количество букв 'У'. В нашей задаче $k=4$.

а) 11 букв

При общем количестве букв $n=11$, нам нужно выбрать 4 позиции для буквы 'У'. Число букв 'Н' равно $11 - 4 = 7$. Число последовательностей равно: $C_{11}^4 = \frac{11!}{4!(11-4)!} = \frac{11!}{4!7!} = \frac{11 \cdot 10 \cdot 9 \cdot 8}{4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1}$. Сокращаем дроби: $8$ в числителе сокращается с $4 \cdot 2$ в знаменателе, а $9$ делится на $3$. $C_{11}^4 = 11 \cdot 10 \cdot 3 = 330$.

Ответ: 330

б) 12 букв

При общем количестве букв $n=12$, нам нужно выбрать 4 позиции для буквы 'У'. Число букв 'Н' равно $12 - 4 = 8$. Число последовательностей равно: $C_{12}^4 = \frac{12!}{4!(12-4)!} = \frac{12!}{4!8!} = \frac{12 \cdot 11 \cdot 10 \cdot 9}{4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1}$. Сокращаем дроби: $12$ в числителе сокращается с $4 \cdot 3$ в знаменателе, а $10$ делится на $2$. $C_{12}^4 = 11 \cdot 5 \cdot 9 = 495$.

Ответ: 495

в) 15 букв

При общем количестве букв $n=15$, нам нужно выбрать 4 позиции для буквы 'У'. Число букв 'Н' равно $15 - 4 = 11$. Число последовательностей равно: $C_{15}^4 = \frac{15!}{4!(15-4)!} = \frac{15!}{4!11!} = \frac{15 \cdot 14 \cdot 13 \cdot 12}{4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1}$. Сокращаем дроби: $12$ в числителе сокращается с $4 \cdot 3$ в знаменателе, а $14$ делится на $2$. $C_{15}^4 = 15 \cdot 7 \cdot 13 = 1365$.

Ответ: 1365

г) 20 букв

При общем количестве букв $n=20$, нам нужно выбрать 4 позиции для буквы 'У'. Число букв 'Н' равно $20 - 4 = 16$. Число последовательностей равно: $C_{20}^4 = \frac{20!}{4!(20-4)!} = \frac{20!}{4!16!} = \frac{20 \cdot 19 \cdot 18 \cdot 17}{4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1}$. Сокращаем дроби: $20$ делится на $4$, а $18$ делится на $3 \cdot 2$. $C_{20}^4 = 5 \cdot 19 \cdot 3 \cdot 17 = 4845$.

Ответ: 4845