Страница 58, часть 2 - гдз по алгебре 7-9 класс учебник часть 1, 2 Высоцкий, Ященко

1 Приведите свой пример величины, имеющей постоянное среднее значение, вокруг которого наблюдаются случайные колебания.

В качестве примера величины, имеющей постоянное среднее значение, вокруг которого наблюдаются случайные колебания, можно рассмотреть результат многократного измерения какой-либо физической величины, например, длины стола.

Пусть истинная, неизменная длина стола равна $L$. Это значение является постоянным средним значением. Однако при каждом отдельном измерении с помощью, например, рулетки, мы будем получать результаты $L_1, L_2, L_3, \ldots, L_n$, которые немного отличаются друг от друга и от истинного значения $L$. Эти отклонения представляют собой случайные колебания.

Причинами таких колебаний являются различные факторы: погрешность самого измерительного прибора, ошибки считывания показаний из-за параллакса, влияние внешних условий (например, изменение температуры, влияющее на длину рулетки), а также человеческий фактор (неидеальное совмещение начала рулетки с краем стола, дрожание рук).

Каждое отдельное измерение $L_i$ можно математически представить как сумму истинного значения и случайной погрешности: $L_i = L + \delta_i$. При большом количестве измерений $n$ положительные и отрицательные погрешности $\delta_i$ в среднем компенсируют друг друга, и среднее арифметическое измеренных значений $\bar{L}$ будет стремиться к истинному значению $L$. Это выражается формулой закона больших чисел: $\bar{L} = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} L_i \to L$ при $n \to \infty$.

Другим наглядным примером служит температура воздуха в комнате, где работает кондиционер с термостатом. Средним значением является заданная на термостате температура (например, 23°C), а случайными колебаниями — небольшие отклонения от этой температуры вверх и вниз, вызванные циклами работы кондиционера и различными тепловыми возмущениями (солнечный свет, открытое окно, присутствие людей).

Ответ: Результаты многократного измерения одной и той же физической величины, например, роста человека. Средним значением является истинный рост, а случайными колебаниями — погрешности, возникающие при каждом отдельном измерении.

2 Что такое тенденция?

Тенденция (от лат. tendere — направлять, стремиться) — это устойчивое направление развития какого-либо явления, процесса, или преобладающая склонность к чему-либо. Это понятие используется в различных сферах для описания закономерностей, которые проявляются с течением времени.

В статистике и экономике

В этих областях тенденция, также известная как тренд, представляет собой долгосрочное направление изменения показателей во временном ряду. При анализе данных, например, объемов продаж, курса акций или ВВП, выявляют основное направление движения, очищенное от случайных и сезонных колебаний. Тенденция может быть:

• Восходящей (бычьей) — когда показатели в целом растут.
• Нисходящей (медвежьей) — когда показатели в целом снижаются.
• Боковой (флэт) — когда показатели колеблются в определенном диапазоне без явного роста или падения.

Пример: "На рынке недвижимости наблюдается тенденция к росту цен".

В социальных науках и психологии

Здесь тенденция описывает характерную склонность в поведении отдельного человека или социальных групп. Это может быть как индивидуальная предрасположенность (например, тенденция к перфекционизму), так и общественное явление, отражающее изменения в ценностях, нормах и образе жизни.

Пример: "В современном обществе прослеживается тенденция к более позднему вступлению в брак".

В повседневной жизни

В быту слово "тенденция" часто используется как синоним слова "тренд" для обозначения модных направлений, преобладающих мнений или часто повторяющихся событий.

Пример: "Новая тенденция в дизайне интерьеров — использование натуральных материалов".

Ответ: Тенденция — это основное, устойчивое направление развития какого-либо процесса или явления, а также преобладающая склонность в поведении или взглядах.

3. Приведите свой пример величины, имеющей возрастающую тенденцию.

Величина, имеющая возрастающую тенденцию, — это такая величина, значения которой с течением времени в целом увеличиваются. Несмотря на возможные краткосрочные колебания или периоды стабильности, общая направленность её изменений — это рост.

Одним из наглядных примеров такой величины является численность населения Земли. Исторические данные показывают, что количество людей на планете неуклонно растет. Например, если в 1950 году население мира составляло около $2.5$ миллиарда человек, то к 2022 году оно превысило $8$ миллиардов. Этот устойчивый рост, обусловленный в первую очередь развитием медицины и улучшением условий жизни, является классическим примером возрастающей тенденции.

Другим примером может служить рост ребенка. С момента рождения и до достижения взрослого возраста рост человека постоянно увеличивается, что также является возрастающей тенденцией.

Ответ: Численность населения Земли.

4 Какие ещё факторы, помимо перечисленных в тексте, по вашему мнению, могут влиять на изменение массы растущего младенца?

На изменение массы растущего младенца, помимо факторов, которые могли быть упомянуты в тексте (например, питание и возраст), влияет множество других взаимосвязанных аспектов. Эти факторы можно условно разделить на несколько групп: генетические, медицинские, поведенческие и факторы окружающей среды.

• Наследственность
  Физические данные родителей (рост, вес, телосложение) напрямую влияют на потенциал роста и набора веса ребенка. Генетические особенности могут определять скорость метаболизма и общую конституцию.

• Состояние здоровья младенца
  Различные заболевания, как врожденные (например, пороки сердца, метаболические нарушения), так и приобретенные (инфекции, проблемы с пищеварением, аллергии), могут существенно влиять на усвоение питательных веществ и, как следствие, на динамику набора веса.

• Тип и режим вскармливания
  Помимо разницы между грудным молоком и смесями, важны также частота и продолжительность кормлений, правильность прикладывания к груди, а также качество и калорийность смеси, если ребенок находится на искусственном вскармливании.

• Введение прикорма
  Своевременность введения твердой пищи, ее разнообразие, калорийность и питательная ценность играют ключевую роль в наборе веса после 4–6 месяцев.

• Физическая активность
  По мере того как младенец осваивает новые навыки (переворачивается, ползает, ходит), его расход энергии увеличивается, что может отразиться на темпах прибавки в весе.

• Режим сна и бодрствования
  Качество и достаточное количество сна необходимы для выработки гормона роста (соматотропина), который активно синтезируется именно во время сна. Нарушения сна могут негативно сказаться на росте и наборе массы.

• Психоэмоциональная обстановка
  Стресс, недостаток внимания и тактильного контакта с родителями могут влиять на аппетит и общее развитие ребенка, в том числе и на физические параметры. Спокойная и доброжелательная атмосфера в семье способствует гармоничному развитию.

• Здоровье и питание матери
  Течение беременности и питание матери в этот период закладывают основу для здоровья ребенка и влияют на его вес при рождении. В период грудного вскармливания рацион матери может влиять на состав и количество молока.

• Пол ребенка
  Статистически мальчики при рождении в среднем немного крупнее девочек и в первые месяцы жизни могут набирать вес несколько быстрее.

• Индивидуальные темпы развития
  Каждый ребенок уникален и развивается по своему собственному графику. Небольшие отклонения от среднестатистических норм могут быть вариантом индивидуальной нормы, если ребенок в целом здоров и активен.

Ответ: На изменение массы растущего младенца могут влиять такие факторы, как наследственность, состояние здоровья самого ребенка, тип и режим вскармливания, введение прикорма, уровень физической активности, качество сна, психоэмоциональная обстановка в семье, здоровье и питание матери во время беременности и лактации, а также пол и индивидуальные темпы развития ребенка.

176 Сколько существует последовательностей, в которых 4 буквы У, а остальные буквы Н, если всего в последовательностях:

а) 11 букв;

б) 12 букв;

в) 15 букв;

г) 20 букв?

Эта задача является классической задачей комбинаторики на перестановки с повторениями. Нам необходимо найти количество различных последовательностей, которые можно составить из 4 одинаковых букв 'У' и некоторого количества одинаковых букв 'Н'.

Общее количество таких последовательностей можно найти, определив, сколькими способами можно выбрать 4 позиции для букв 'У' из общего числа позиций $n$. Остальные позиции автоматически будут заняты буквами 'Н'. Для этого используется формула числа сочетаний: $C_n^k = \binom{n}{k} = \frac{n!}{k!(n-k)!}$, где $n$ — общее количество букв в последовательности, а $k$ — количество букв 'У'. В нашей задаче $k=4$.

а) 11 букв

При общем количестве букв $n=11$, нам нужно выбрать 4 позиции для буквы 'У'. Число букв 'Н' равно $11 - 4 = 7$. Число последовательностей равно: $C_{11}^4 = \frac{11!}{4!(11-4)!} = \frac{11!}{4!7!} = \frac{11 \cdot 10 \cdot 9 \cdot 8}{4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1}$. Сокращаем дроби: $8$ в числителе сокращается с $4 \cdot 2$ в знаменателе, а $9$ делится на $3$. $C_{11}^4 = 11 \cdot 10 \cdot 3 = 330$.

Ответ: 330

б) 12 букв

При общем количестве букв $n=12$, нам нужно выбрать 4 позиции для буквы 'У'. Число букв 'Н' равно $12 - 4 = 8$. Число последовательностей равно: $C_{12}^4 = \frac{12!}{4!(12-4)!} = \frac{12!}{4!8!} = \frac{12 \cdot 11 \cdot 10 \cdot 9}{4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1}$. Сокращаем дроби: $12$ в числителе сокращается с $4 \cdot 3$ в знаменателе, а $10$ делится на $2$. $C_{12}^4 = 11 \cdot 5 \cdot 9 = 495$.

Ответ: 495

в) 15 букв

При общем количестве букв $n=15$, нам нужно выбрать 4 позиции для буквы 'У'. Число букв 'Н' равно $15 - 4 = 11$. Число последовательностей равно: $C_{15}^4 = \frac{15!}{4!(15-4)!} = \frac{15!}{4!11!} = \frac{15 \cdot 14 \cdot 13 \cdot 12}{4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1}$. Сокращаем дроби: $12$ в числителе сокращается с $4 \cdot 3$ в знаменателе, а $14$ делится на $2$. $C_{15}^4 = 15 \cdot 7 \cdot 13 = 1365$.

Ответ: 1365

г) 20 букв

При общем количестве букв $n=20$, нам нужно выбрать 4 позиции для буквы 'У'. Число букв 'Н' равно $20 - 4 = 16$. Число последовательностей равно: $C_{20}^4 = \frac{20!}{4!(20-4)!} = \frac{20!}{4!16!} = \frac{20 \cdot 19 \cdot 18 \cdot 17}{4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1}$. Сокращаем дроби: $20$ делится на $4$, а $18$ делится на $3 \cdot 2$. $C_{20}^4 = 5 \cdot 19 \cdot 3 \cdot 17 = 4845$.

Ответ: 4845

177 В лотерее разыгрывается несколько выигрышных номеров из общего количества номеров. Сколько всего существует комбинаций выигрышных номеров, если:

а) разыгрываются 5 номеров из 36;

б) разыгрываются 6 номеров из 49?

а) разыгрываются 5 номеров из 36;
Для решения этой задачи необходимо найти число сочетаний из 36 элементов по 5, так как порядок выпадения номеров не важен. Формула для числа сочетаний имеет вид:
$C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}$
где $n$ — общее количество элементов, а $k$ — количество выбираемых элементов.
В данном случае $n = 36$ и $k = 5$.
Подставляем значения в формулу:
$C_{36}^5 = \frac{36!}{5!(36-5)!} = \frac{36!}{5! \cdot 31!}$
Распишем и сократим факториалы:
$C_{36}^5 = \frac{36 \cdot 35 \cdot 34 \cdot 33 \cdot 32 \cdot 31!}{5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1 \cdot 31!} = \frac{36 \cdot 35 \cdot 34 \cdot 33 \cdot 32}{5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1}$
Выполним вычисления:
$C_{36}^5 = \frac{45239040}{120} = 376992$
Таким образом, существует 376 992 комбинации выигрышных номеров.
Ответ: 376 992.

б) разыгрываются 6 номеров из 49?
Аналогично предыдущему пункту, используем формулу для числа сочетаний. Здесь общее количество номеров $n = 49$, а количество выигрышных номеров $k = 6$.
Подставляем значения в формулу:
$C_{49}^6 = \frac{49!}{6!(49-6)!} = \frac{49!}{6! \cdot 43!}$
Распишем и сократим факториалы:
$C_{49}^6 = \frac{49 \cdot 48 \cdot 47 \cdot 46 \cdot 45 \cdot 44}{6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1}$
Выполним вычисления, предварительно упростив выражение. Знаменатель $6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1 = 720$. В числителе можно сократить множители: $48 = 6 \cdot 4 \cdot 2$ и $45 = 5 \cdot 9$.
$C_{49}^6 = \frac{49 \cdot (6 \cdot 4 \cdot 2) \cdot 47 \cdot 46 \cdot (5 \cdot 9) \cdot 44}{6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1} = \frac{49 \cdot 47 \cdot 46 \cdot 9 \cdot 44}{3} = 49 \cdot 47 \cdot 46 \cdot 3 \cdot 44$
$C_{49}^6 = 13983816$
Таким образом, существует 13 983 816 комбинаций выигрышных номеров.
Ответ: 13 983 816.

178 Одно время была популярна лотерея «Честная игра». В билете лотереи имеется 20 закрытых букв, ровно 10 из них — буквы слова «АВТОМОБИЛЬ». Буквы разбросаны случайным образом. По правилам лотереи, если владелец билета, открыв ровно 10 букв, откроет все буквы слова «АВТОМОБИЛЬ», то он выигрывает машину.

а) Сколько всего существует способов открыть 10 букв?

б) Сколько существует способов открыть 10 букв так, чтобы выиграть автомобиль?

в) Какова вероятность выиграть автомобиль?

а) Сколько всего существует способов открыть 10 букв?

В билете всего 20 закрытых букв, из которых нужно выбрать 10. Порядок, в котором открываются буквы, не важен, поэтому для нахождения общего числа способов мы используем формулу числа сочетаний из $n$ по $k$:

$C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}$

В данном случае общее количество букв $n=20$, а количество букв, которые нужно открыть, $k=10$. Подставим эти значения в формулу:

$C_{20}^{10} = \frac{20!}{10!(20-10)!} = \frac{20!}{10!10!} = \frac{20 \cdot 19 \cdot 18 \cdot 17 \cdot 16 \cdot 15 \cdot 14 \cdot 13 \cdot 12 \cdot 11}{10 \cdot 9 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1} = 184756$

Таким образом, существует 184 756 различных способов открыть 10 букв из 20.

Ответ: 184 756.

б) Сколько существует способов открыть 10 букв так, чтобы выиграть автомобиль?

Для выигрыша необходимо открыть все 10 букв, составляющих слово «АВТОМОБИЛЬ». По условию, в билете ровно 10 таких букв. Следовательно, выигрышный способ — это выбрать все 10 этих букв.

Количество способов выбрать 10 выигрышных букв из 10 имеющихся выигрышных букв равно:

$C_{10}^{10} = \frac{10!}{10!(10-10)!} = \frac{10!}{10!0!} = 1$

Это означает, что существует только один-единственный способ выиграть.

Ответ: 1.

в) Какова вероятность выиграть автомобиль?

Вероятность события по классическому определению равна отношению числа благоприятных исходов к общему числу всех равновозможных исходов.

$P(\text{событие}) = \frac{\text{Число благоприятных исходов}}{\text{Общее число исходов}}$

Число благоприятных исходов (выигрышных способов) из пункта (б) равно 1.

Общее число исходов (всех возможных способов открыть 10 букв) из пункта (а) равно 184 756.

Таким образом, вероятность выиграть автомобиль равна:

$P(\text{выигрыш}) = \frac{1}{184756}$

Ответ: $\frac{1}{184756}$.

179 В группе пять человек: Ваня, Саша, Маша, Таня и Коля. По жребию двое из них выбраны дежурными. Найдите вероятность того, что это Ваня и Таня.

Для решения этой задачи воспользуемся классическим определением вероятности. Вероятность события $P$ вычисляется по формуле:

$P = \frac{m}{n}$

где $n$ – общее число всех равновозможных исходов, а $m$ – число исходов, благоприятствующих событию.

Сначала найдем общее число исходов $n$. Нам нужно выбрать 2 дежурных из 5 человек. Так как порядок выбора не важен (пара Ваня и Таня – это то же самое, что и пара Таня и Ваня), мы будем использовать формулу для числа сочетаний:

$C_k^n = \frac{n!}{k!(n-k)!}$

В нашем случае общее число людей $n=5$, а количество выбираемых дежурных $k=2$.

Подставим значения в формулу:

$n = C_5^2 = \frac{5!}{2!(5-2)!} = \frac{5!}{2!3!} = \frac{1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 4 \cdot 5}{(1 \cdot 2) \cdot (1 \cdot 2 \cdot 3)} = \frac{4 \cdot 5}{2} = 10$.

Таким образом, существует 10 возможных пар дежурных.

Теперь найдем число благоприятных исходов $m$. Нас интересует только один конкретный исход: дежурными выбраны Ваня и Таня. Это одна единственная пара.

Следовательно, $m = 1$.

Теперь мы можем рассчитать вероятность этого события:

$P = \frac{m}{n} = \frac{1}{10} = 0,1$.

Ответ: 0,1

180 В ящике 4 красных и 2 жёлтых флажка. Из него наудачу извлекают 3 флажка. Какова вероятность того, что все эти флажки красные?

Для решения этой задачи воспользуемся классическим определением вероятности, согласно которому вероятность события равна отношению числа благоприятствующих этому событию исходов к общему числу всех равновозможных исходов.

1. Найдем общее число возможных исходов (n).

В ящике всего $4 + 2 = 6$ флажков. Мы извлекаем 3 флажка. Общее число способов выбрать 3 флажка из 6, где порядок не важен, определяется числом сочетаний $C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}$.

В нашем случае $n=6$ (всего флажков) и $k=3$ (извлекаем флажков):

$n = C_6^3 = \frac{6!}{3!(6-3)!} = \frac{6!}{3! \cdot 3!} = \frac{6 \cdot 5 \cdot 4}{3 \cdot 2 \cdot 1} = 20$.

Таким образом, существует 20 различных способов извлечь 3 флажка из ящика.

2. Найдем число благоприятных исходов (m).

Благоприятный исход — это извлечение 3 красных флажков. Всего в ящике 4 красных флажка. Число способов выбрать 3 красных флажка из 4 доступных также вычисляется с помощью сочетаний.

Здесь $n=4$ (всего красных флажков) и $k=3$ (извлекаем красных флажков):

$m = C_4^3 = \frac{4!}{3!(4-3)!} = \frac{4!}{3! \cdot 1!} = \frac{4}{1} = 4$.

Следовательно, существует 4 способа извлечь 3 красных флажка.

3. Вычислим искомую вероятность.

Вероятность $P$ того, что все три извлеченных флажка окажутся красными, равна отношению числа благоприятных исходов к общему числу исходов:

$P = \frac{m}{n} = \frac{4}{20} = \frac{1}{5}$.

Ответ: $\frac{1}{5}$.

181 Для участия в телевикторине случайным образом выбирают 3 игроков из 8 претендентов. Какова вероятность того, что будут выбраны 1-й, 4-й и 8-й игроки?

Для решения задачи используем классическое определение вероятности. Вероятность события $A$ равна отношению числа благоприятных исходов $m$ к общему числу всех равновозможных исходов $N$. Формула вероятности: $P(A) = \frac{m}{N}$.

Сначала определим общее число всех возможных исходов $N$. Это количество способов выбрать 3 игроков из 8 претендентов. Так как порядок выбора игроков не важен, мы используем формулу для числа сочетаний из $n$ по $k$:

$C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}$

В нашем случае общее число претендентов $n=8$, а количество выбираемых игроков $k=3$.

Подставим значения в формулу, чтобы найти общее число исходов $N$:

$N = C_8^3 = \frac{8!}{3!(8-3)!} = \frac{8!}{3!5!} = \frac{8 \times 7 \times 6 \times 5!}{3 \times 2 \times 1 \times 5!} = \frac{8 \times 7 \times 6}{6} = 56$.

Итак, существует 56 различных способов сформировать группу из 3 игроков.

Теперь определим число благоприятных исходов $m$. Благоприятный исход — это выбор конкретной тройки игроков: 1-го, 4-го и 8-го. Существует только одна такая комбинация.

Следовательно, $m = 1$.

Теперь мы можем рассчитать вероятность того, что будут выбраны именно эти три игрока:

$P(A) = \frac{m}{N} = \frac{1}{56}$.

Ответ: $\frac{1}{56}$

182 В тираже лотереи «Спортлото» разыгрывались 6 случайных номеров из 49.

а) В кинокомедии «Спортлото-82» главный герой зачёркивает номера 1, 2, 3, 4, 5 и 6. Найдите вероятность того, что в тираже выиграют именно эти шесть номеров.

б) Какова вероятность того, что в тираже лотереи выиграют номера 4, 28, 17, 8, 12, 32? Отличается ли она от вероятности выигрыша комбинации 1, 2, 3, 4, 5 и 6?

а) Для нахождения вероятности выигрыша указанной комбинации необходимо определить общее количество возможных исходов и количество благоприятных исходов. В лотерее «Спортлото» разыгрываются 6 номеров из 49, причем порядок выпадения номеров не имеет значения. Следовательно, общее число всех возможных комбинаций из 6 номеров можно рассчитать с помощью формулы сочетаний:

$C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}$

где $n=49$ – общее количество номеров, а $k=6$ – количество выбираемых номеров.

Общее число исходов (N) равно числу сочетаний из 49 по 6:

$N = C_{49}^6 = \frac{49!}{6!(49-6)!} = \frac{49!}{6!43!} = \frac{49 \times 48 \times 47 \times 46 \times 45 \times 44}{6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1} = 13,983,816$

Таким образом, существует 13,983,816 различных способов выбрать 6 номеров из 49. Комбинация номеров 1, 2, 3, 4, 5 и 6 является одним-единственным благоприятным исходом. Следовательно, количество благоприятных исходов (m) равно 1. Вероятность события (P) вычисляется как отношение числа благоприятных исходов к общему числу исходов:

$P = \frac{m}{N} = \frac{1}{13,983,816}$

Ответ: Вероятность того, что в тираже выиграют именно номера 1, 2, 3, 4, 5 и 6, равна $\frac{1}{13,983,816}$.

б) Комбинация номеров 4, 28, 17, 8, 12, 32 — это также одна конкретная комбинация из шести номеров. Количество благоприятных исходов для выигрыша этой комбинации равно $m=1$. Общее количество возможных комбинаций в лотерее остается прежним: $N = C_{49}^6 = 13,983,816$.

Вероятность выигрыша этой комбинации составляет:

$P = \frac{m}{N} = \frac{1}{13,983,816}$

Сравнивая эту вероятность с вероятностью выигрыша комбинации 1, 2, 3, 4, 5 и 6, найденной в пункте а), мы видим, что они равны. При случайном выборе 6 номеров из 49 любая конкретная комбинация имеет одинаковые шансы на выигрыш, независимо от того, кажутся ли номера «случайными» или «упорядоченными». С точки зрения теории вероятностей, каждая отдельная комбинация равновероятна.

Ответ: Вероятность выигрыша комбинации 4, 28, 17, 8, 12, 32 равна $\frac{1}{13,983,816}$. Эта вероятность не отличается от вероятности выигрыша комбинации 1, 2, 3, 4, 5 и 6; они равны.

183 На двери установлен кодовый замок с кнопками. На кнопках изображены цифры от 0 до 9. Чтобы открыть дверь, нужно одновременно нажать три кнопки неизвестного нам кода. Найдите вероятность открыть дверь с первой попытки, нажав три кнопки наудачу.

Для нахождения вероятности воспользуемся классическим определением: вероятность события равна отношению числа благоприятных исходов к общему числу всех равновозможных исходов. $P = \frac{m}{n}$.

Сначала определим общее число возможных исходов $n$. На замке 10 кнопок с цифрами от 0 до 9. Для открытия двери нужно одновременно нажать 3 кнопки. Поскольку кнопки нажимаются одновременно, порядок их выбора не важен. Это означает, что нам нужно найти количество сочетаний из 10 элементов по 3.

Общее число способов выбрать 3 кнопки из 10 вычисляется по формуле числа сочетаний:

$n = C_{10}^3 = \frac{10!}{3!(10-3)!} = \frac{10!}{3!7!}$

Распишем факториалы:

$n = \frac{10 \cdot 9 \cdot 8 \cdot 7!}{3 \cdot 2 \cdot 1 \cdot 7!} = \frac{10 \cdot 9 \cdot 8}{6} = \frac{720}{6} = 120$.

Таким образом, существует 120 различных комбинаций из трех кнопок, которые можно нажать.

Теперь определим число благоприятных исходов $m$. Благоприятный исход — это нажатие правильной комбинации кнопок. Так как код неизвестен, но он один, то существует только одна правильная комбинация, которая откроет дверь.

Следовательно, $m = 1$.

Вероятность открыть дверь с первой попытки равна:

$P = \frac{m}{n} = \frac{1}{120}$.

Ответ: $\frac{1}{120}$.

184 На книжной полке 6 романов и 4 повести, расположенные в случайном порядке. С полки сняли 7 первых попавшихся книг. Найдите вероятность того, что на полке остались:

a) только повести;

б) только романы.

Указание. a) Элементарным событием будем считать комбинацию из трёх оставшихся на полке книг. Всего таких комбинаций $C_{10}^{3}$. Событию «остались только повести» благоприятствуют $C_{4}^{3}$ элементарных событий, поскольку повестей всего 4.

Всего на книжной полке находится $6$ романов и $4$ повести, то есть $6 + 4 = 10$ книг. С полки сняли 7 книг, следовательно, на полке осталось $10 - 7 = 3$ книги. Для решения задачи будем использовать классическое определение вероятности. Элементарным исходом будем считать любой возможный набор из 3 книг, оставшихся на полке.

Общее число возможных исходов (N) равно числу способов выбрать 3 книги из 10 имеющихся. Поскольку порядок выбора не имеет значения, используем формулу для числа сочетаний:

$N = C_{10}^3 = \frac{10!}{3!(10-3)!} = \frac{10!}{3!7!} = \frac{10 \cdot 9 \cdot 8}{3 \cdot 2 \cdot 1} = 10 \cdot 3 \cdot 4 = 120$.

Таким образом, существует 120 различных комбинаций из трех книг, которые могут остаться на полке.

а) только повести;

Найдем вероятность события A, которое заключается в том, что на полке остались только повести. Это означает, что все 3 оставшиеся книги являются повестями. Всего повестей 4.

Число благоприятствующих этому событию исходов ($M_a$) равно числу способов выбрать 3 повести из 4 имеющихся:

$M_a = C_4^3 = \frac{4!}{3!(4-3)!} = \frac{4!}{3!1!} = 4$.

Вероятность события A вычисляется как отношение числа благоприятствующих исходов к общему числу исходов:

$P(A) = \frac{M_a}{N} = \frac{C_4^3}{C_{10}^3} = \frac{4}{120} = \frac{1}{30}$.

Ответ: $\frac{1}{30}$.

б) только романы.

Найдем вероятность события B, которое заключается в том, что на полке остались только романы. Это означает, что все 3 оставшиеся книги являются романами. Всего романов 6.

Число благоприятствующих этому событию исходов ($M_b$) равно числу способов выбрать 3 романа из 6 имеющихся:

$M_b = C_6^3 = \frac{6!}{3!(6-3)!} = \frac{6!}{3!3!} = \frac{6 \cdot 5 \cdot 4}{3 \cdot 2 \cdot 1} = 20$.

Вероятность события B вычисляется как отношение числа благоприятствующих исходов к общему числу исходов:

$P(B) = \frac{M_b}{N} = \frac{C_6^3}{C_{10}^3} = \frac{20}{120} = \frac{1}{6}$.

Ответ: $\frac{1}{6}$.

185 Известно, что последние четыре цифры в семизначном телефонном номере некоторого абонента — это 1, 2, 3 и 4. Найдите вероятность того, что номер оканчивается на 43 или 34.

По условию задачи, последние четыре цифры телефонного номера — это 1, 2, 3 и 4. Это означает, что последние четыре цифры являются некоторой перестановкой этих четырех различных цифр.

Сначала найдем общее число $N$ всех возможных равновероятных исходов. Это число равно количеству перестановок из 4 различных элементов, которое вычисляется по формуле $P_n = n!$.
В нашем случае $n=4$, поэтому общее число исходов:
$N = 4! = 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 24$.
Таким образом, существует 24 различных способа расположения цифр 1, 2, 3, 4 в конце телефонного номера.

Теперь найдем число $m$ благоприятных исходов. Благоприятным исходом является тот, при котором номер оканчивается на 43 или 34. Эти два события являются несовместными (не могут произойти одновременно), поэтому мы можем найти количество вариантов для каждого случая и сложить их.

Случай 1: Номер оканчивается на 43.
Если последние две цифры — это 4 и 3, то для первых двух позиций остаются цифры 1 и 2. Их можно расположить двумя способами:
1) 1243
2) 2143
Таким образом, для этого случая есть 2 благоприятных исхода.

Случай 2: Номер оканчивается на 34.
Если последние две цифры — это 3 и 4, то для первых двух позиций также остаются цифры 1 и 2. Их можно расположить двумя способами:
1) 1234
2) 2134
Таким образом, для этого случая есть еще 2 благоприятных исхода.

Общее число благоприятных исходов $m$ равно сумме исходов в обоих случаях:
$m = 2 + 2 = 4$.

Вероятность $P$ искомого события находится по классической формуле вероятности как отношение числа благоприятных исходов к общему числу исходов:
$P = \frac{m}{N} = \frac{4}{24} = \frac{1}{6}$.

Ответ: $\frac{1}{6}$

186 В партии из 15 деталей 3 детали бракованные. Покупатель приобрёл 5 деталей. Найдите вероятность того, что среди них:

а) нет ни одной бракованной;

б) есть хотя бы одна бракованная;

в) ровно 2 бракованные детали;

г) ровно 3 бракованные детали.

Для решения задачи используем классическое определение вероятности и формулы комбинаторики. Всего в партии 15 деталей, из которых 3 бракованные, а остальные $15 - 3 = 12$ качественные. Покупатель приобретает 5 деталей.

Общее число способов выбрать 5 деталей из 15 равно числу сочетаний из 15 по 5. Это общее число всех равновозможных исходов.

$N = C_{15}^5 = \frac{15!}{5!(15-5)!} = \frac{15 \cdot 14 \cdot 13 \cdot 12 \cdot 11}{5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1} = 3 \cdot 7 \cdot 13 \cdot 1 \cdot 11 = 3003$.

а) нет ни одной бракованной;

Это событие означает, что все 5 выбранных деталей являются качественными. Число способов выбрать 5 качественных деталей из 12 имеющихся равно числу сочетаний из 12 по 5. Это будет числом благоприятных исходов.

$m_a = C_{12}^5 = \frac{12!}{5!(12-5)!} = \frac{12 \cdot 11 \cdot 10 \cdot 9 \cdot 8}{5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1} = 11 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 2 / (2) = 12 \cdot 11 \cdot 2 \cdot 3 / 3 = 792$. $m_a = C_{12}^5 = \frac{12 \cdot 11 \cdot 10 \cdot 9 \cdot 8}{120} = 792$.

Вероятность $P(a)$ того, что среди выбранных деталей нет ни одной бракованной, равна:

$P(a) = \frac{m_a}{N} = \frac{792}{3003}$.

Сократив дробь на 33 (общий делитель), получаем:

$P(a) = \frac{792 \div 33}{3003 \div 33} = \frac{24}{91}$.

Ответ: $\frac{24}{91}$

б) есть хотя бы одна бракованная;

Событие "есть хотя бы одна бракованная деталь" является противоположным событию "нет ни одной бракованной детали" (событие а). Сумма вероятностей противоположных событий равна 1.

$P(б) = 1 - P(а) = 1 - \frac{24}{91} = \frac{91 - 24}{91} = \frac{67}{91}$.

Ответ: $\frac{67}{91}$

в) ровно 2 бракованные детали;

Это событие означает, что из 5 выбранных деталей 2 являются бракованными и 3 — качественными. Число способов выбрать 2 бракованные детали из 3 равно $C_3^2$. Число способов выбрать 3 качественные детали из 12 равно $C_{12}^3$.

$C_3^2 = \frac{3!}{2!1!} = 3$.

$C_{12}^3 = \frac{12!}{3!9!} = \frac{12 \cdot 11 \cdot 10}{3 \cdot 2 \cdot 1} = 2 \cdot 11 \cdot 10 = 220$.

Число благоприятных исходов $m_в$ находим по правилу произведения:

$m_в = C_3^2 \cdot C_{12}^3 = 3 \cdot 220 = 660$.

Вероятность $P(в)$ того, что среди выбранных деталей ровно 2 бракованные:

$P(в) = \frac{m_в}{N} = \frac{660}{3003} = \frac{660 \div 33}{3003 \div 33} = \frac{20}{91}$.

Ответ: $\frac{20}{91}$

г) ровно 3 бракованные детали.

Это событие означает, что из 5 выбранных деталей 3 являются бракованными и 2 — качественными. Число способов выбрать 3 бракованные детали из 3 равно $C_3^3$. Число способов выбрать 2 качественные детали из 12 равно $C_{12}^2$.

$C_3^3 = \frac{3!}{3!0!} = 1$.

$C_{12}^2 = \frac{12!}{2!10!} = \frac{12 \cdot 11}{2 \cdot 1} = 66$.

Число благоприятных исходов $m_г$ равно:

$m_г = C_3^3 \cdot C_{12}^2 = 1 \cdot 66 = 66$.

Вероятность $P(г)$ того, что среди выбранных деталей ровно 3 бракованные:

$P(г) = \frac{m_г}{N} = \frac{66}{3003} = \frac{66 \div 33}{3003 \div 33} = \frac{2}{91}$.

Ответ: $\frac{2}{91}$