Страница 65, часть 2 - гдз по алгебре 7-9 класс учебник часть 1, 2 Высоцкий, Ященко

196 Отрезок $AB$ разбит точками $C$ и $D$ на три равные части $AC$, $CD$ и $DB$. Из отрезка $AB$ выбирают случайную точку $X$. Найдите вероятность того, что точка $X$:

a) принадлежит отрезку $CD$;

б) не принадлежит отрезку $CD$.

Данная задача относится к геометрической вероятности. Вероятность попадания случайно выбранной точки на отрезке в некоторый его подынтервал равна отношению длины этого подынтервала к длине всего отрезка.

Пусть длина всего отрезка $AB$ равна $L$.

По условию, точки $C$ и $D$ делят отрезок $AB$ на три равные части: $AC$, $CD$ и $DB$. Следовательно, длины этих частей равны:

$|AC| = |CD| = |DB|$

Так как $|AB| = |AC| + |CD| + |DB|$, то длина каждой из трех частей составляет одну треть от длины всего отрезка:

$|AC| = |CD| = |DB| = \frac{|AB|}{3} = \frac{L}{3}$

Теперь найдем искомые вероятности.

а) принадлежит отрезку $CD$

Вероятность того, что случайно выбранная точка $X$ попадёт на отрезок $CD$, равна отношению длины отрезка $CD$ к длине отрезка $AB$.

$P(X \in CD) = \frac{|CD|}{|AB|}$

Подставим известные значения длин:

$P(X \in CD) = \frac{L/3}{L} = \frac{1}{3}$

Ответ: $\frac{1}{3}$

б) не принадлежит отрезку $CD$

Событие "точка $X$ не принадлежит отрезку $CD$" является противоположным событию "точка $X$ принадлежит отрезку $CD$". Сумма вероятностей противоположных событий равна 1.

$P(X \notin CD) = 1 - P(X \in CD)$

Используя результат из пункта а), получаем:

$P(X \notin CD) = 1 - \frac{1}{3} = \frac{2}{3}$

Другой способ решения — найти вероятность того, что точка $X$ принадлежит объединению отрезков $AC$ и $DB$. Длина этой области равна:

$|AC| + |DB| = \frac{L}{3} + \frac{L}{3} = \frac{2L}{3}$

Тогда вероятность попадания точки $X$ в эту область равна:

$P(X \notin CD) = \frac{|AC| + |DB|}{|AB|} = \frac{2L/3}{L} = \frac{2}{3}$

Ответ: $\frac{2}{3}$

197 Длина отрезка $MN$ равна 3 см. Из этого отрезка наудачу выбирают одну точ-ку. Найдите вероятность того, что эта точка удалена от точки $M$:

а) менее чем на 1 см;

б) не более чем на 2 см.

Данная задача относится к геометрической вероятности. Вероятность события определяется как отношение меры (в данном случае длины) благоприятствующей этому событию области к мере всей области возможных исходов.

Областью всех возможных исходов является отрезок MN. Его длина равна $L_{общ} = 3$ см.

а) менее чем на 1 см;

Пусть на отрезке MN выбрана точка X. Нас интересует событие, при котором расстояние от точки X до точки M меньше 1 см.

Множество всех точек на отрезке MN, удаленных от точки M на расстояние менее 1 см, образует отрезок, начинающийся в точке M, длиной 1 см. Длина этого "благоприятного" отрезка равна $L_{бл} = 1$ см.

Вероятность $P$ того, что случайно выбранная точка окажется в этом отрезке, равна отношению длины благоприятного отрезка к длине всего отрезка MN:

$P = \frac{L_{бл}}{L_{общ}} = \frac{1}{3}$

Ответ: $\frac{1}{3}$

б) не более чем на 2 см.

В этом случае нас интересует событие, при котором расстояние от выбранной точки X до точки M не превышает 2 см, то есть меньше или равно 2 см.

Множество всех точек на отрезке MN, удовлетворяющих этому условию, образует отрезок, начинающийся в точке M, длиной 2 см. Длина этого "благоприятного" отрезка равна $L_{бл} = 2$ см.

Вероятность $P$ данного события равна отношению длины благоприятного отрезка к длине всего отрезка MN:

$P = \frac{L_{бл}}{L_{общ}} = \frac{2}{3}$

Ответ: $\frac{2}{3}$

198 Углы $AOB$ и $COD$ вертикальные. При этом точка $C$ лежит на луче $AO$ и $\angle AOB = 60^\circ$. Из окружности с центром в точке $O$ случайным образом выбирают точку $X$. Найдите вероятность того, что точка $X$ лежит:

a) внутри хотя бы одного из углов $BOC$ или $AOD$;

б) внутри угла $DOC$.

а) внутри хотя бы одного из углов BOC или AOD;

По условию, углы $AOB$ и $COD$ являются вертикальными. Это означает, что они образованы пересечением двух прямых, в данном случае, прямых $AC$ и $BD$. Точка $O$ — точка их пересечения.

Углы $AOB$ и $BOC$ являются смежными, так как их стороны $OA$ и $OC$ образуют прямую линию. Сумма смежных углов равна $180^\circ$.

Зная, что $\angle AOB = 60^\circ$, мы можем найти величину угла $BOC$:
$\angle BOC = 180^\circ - \angle AOB = 180^\circ - 60^\circ = 120^\circ$.

Углы $AOD$ и $BOC$ также являются вертикальными, следовательно, они равны:
$\angle AOD = \angle BOC = 120^\circ$.

Вероятность в данном случае — это геометрическая вероятность, которая определяется как отношение "благоприятной" меры к "полной" мере. Для окружности мерой является ее угловая величина, равная $360^\circ$.

Благоприятным исходом является попадание точки $X$ в область, соответствующую углам $BOC$ или $AOD$. Так как эти углы не пересекаются (за исключением общей вершины), общая угловая мера благоприятной области равна сумме их мер:

$\angle BOC + \angle AOD = 120^\circ + 120^\circ = 240^\circ$.

Теперь найдем вероятность, разделив угловую меру благоприятной области на полную угловую меру окружности:

$P = \frac{240^\circ}{360^\circ} = \frac{24}{36} = \frac{2}{3}$.

Ответ: $\frac{2}{3}$

б) внутри угла DOC.

Углы $DOC$ и $AOB$ являются вертикальными по условию. Свойство вертикальных углов заключается в том, что они равны.

Следовательно, $\angle DOC = \angle AOB = 60^\circ$.

Благоприятной областью в этом случае является сектор, соответствующий углу $DOC$. Его угловая мера равна $60^\circ$.

Вероятность того, что точка $X$ попадет в эту область, равна отношению угловой меры этой области к полной угловой мере окружности:

$P = \frac{\angle DOC}{360^\circ} = \frac{60^\circ}{360^\circ} = \frac{6}{36} = \frac{1}{6}$.

Ответ: $\frac{1}{6}$

199 На окружности с центром $O$ выбрана точка $A$. Из этой окружности выбирают случайную точку $X$. Найдите вероятность того, что угол $AOX$:

a) меньше $90^\circ$;

б) больше $120^\circ$;

в) находится в пределах от $30^\circ$ до $60^\circ$.

Данная задача относится к геометрической вероятности. Вероятность события определяется как отношение меры области благоприятных исходов к мере области всех возможных исходов. В качестве меры будем использовать величину центрального угла, соответствующего дуге окружности, на которой может находиться случайная точка $X$.

Полная окружность соответствует центральному углу в $360^{\circ}$. Это мера пространства всех возможных положений точки $X$.

Угол $\angle AOX$ принято считать наименьшим положительным углом между лучами $OA$ и $OX$, поэтому его значение находится в диапазоне от $0^{\circ}$ до $180^{\circ}$. Это означает, что для любого угла $\alpha$ из интервала $(0^{\circ}, 180^{\circ})$ на окружности существуют две точки $X$, для которых $\angle AOX = \alpha$. Эти точки симметричны относительно прямой $OA$.

Требуется найти вероятность того, что $\angle AOX < 90^{\circ}$.Благоприятные положения точки $X$ — это те, для которых угол между $OA$ и $OX$ меньше $90^{\circ}$. Такие точки образуют две дуги, симметричные относительно прямой $OA$.Одна дуга соответствует отклонению от луча $OA$ на угол до $90^{\circ}$ в одном направлении (например, против часовой стрелки).Другая дуга соответствует отклонению на угол до $90^{\circ}$ в другом направлении (по часовой стрелке).Суммарная угловая мера этих двух дуг, составляющих область благоприятных исходов, равна:$90^{\circ} + 90^{\circ} = 180^{\circ}$.

Вероятность этого события равна отношению угловой меры благоприятной области к полной угловой мере окружности:$P(\angle AOX < 90^{\circ}) = \frac{180^{\circ}}{360^{\circ}} = \frac{1}{2}$.

Ответ: $\frac{1}{2}$

Требуется найти вероятность того, что $\angle AOX > 120^{\circ}$.Поскольку $\angle AOX$ не может превышать $180^{\circ}$, это условие эквивалентно $120^{\circ} < \angle AOX \le 180^{\circ}$.Точки $X$, удовлетворяющие этому условию, также образуют две симметричные дуги.Рассмотрим отклонение от луча $OA$. Если угол отклонения (в любую сторону) меньше или равен $120^{\circ}$, то это неблагоприятный исход. Угловая мера области неблагоприятных исходов составляет $120^{\circ} + 120^{\circ} = 240^{\circ}$.Область благоприятных исходов — это оставшаяся часть окружности. Её угловая мера равна:$360^{\circ} - 240^{\circ} = 120^{\circ}$.

Вероятность этого события:$P(\angle AOX > 120^{\circ}) = \frac{120^{\circ}}{360^{\circ}} = \frac{1}{3}$.

Ответ: $\frac{1}{3}$

Требуется найти вероятность того, что $30^{\circ} \le \angle AOX \le 60^{\circ}$.Благоприятные положения точки $X$ снова образуют две симметричные дуги.Первая дуга соответствует точкам, угол до которых от луча $OA$ (например, против часовой стрелки) находится в диапазоне от $30^{\circ}$ до $60^{\circ}$. Угловая мера этой дуги составляет $60^{\circ} - 30^{\circ} = 30^{\circ}$.Вторая дуга симметрична первой и соответствует отклонению по часовой стрелке в том же диапазоне углов. Её угловая мера также равна $30^{\circ}$.

Суммарная угловая мера области благоприятных исходов:$30^{\circ} + 30^{\circ} = 60^{\circ}$.

Вероятность этого события:$P(30^{\circ} \le \angle AOX \le 60^{\circ}) = \frac{60^{\circ}}{360^{\circ}} = \frac{1}{6}$.

Ответ: $\frac{1}{6}$

200 В окружность вписан равносторонний треугольник $ABC$. На этой окружности случайным образом выбирают две точки — $D$ и $E$. Найдите вероятность того, что отрезок $DE$:

а) не пересекает ни одну из сторон треугольника;

б) пересекает ровно две стороны треугольника.

Для решения задачи воспользуемся методом геометрической вероятности. Пусть длина окружности равна 1. Расположим вершины равностороннего треугольника $ABC$ в точках 0, $1/3$ и $2/3$ на окружности. Таким образом, окружность делится на три равные дуги: дуга $AB$ (от 0 до $1/3$), дуга $BC$ (от $1/3$ до $2/3$) и дуга $CA$ (от $2/3$ до 1). Длина каждой дуги равна $1/3$.

Выбор двух случайных точек $D$ и $E$ на окружности можно представить как выбор двух случайных чисел $d$ и $e$ из отрезка $[0, 1)$. Пространством элементарных исходов является квадрат $[0, 1) \times [0, 1)$ с площадью 1. Вероятность события равна площади области в этом квадрате, соответствующей данному событию.

а) не пересекает ни одну из сторон треугольника;

Отрезок (хорда) $DE$ не пересекает ни одну из сторон треугольника $ABC$ тогда и только тогда, когда обе точки, $D$ и $E$, лежат на одной и той же дуге, образованной вершинами треугольника (то есть на дуге $AB$, или на дуге $BC$, или на дуге $CA$). В этом случае хорда целиком лежит в сегменте, отсекаемом соответствующей стороной, и не может пересечь другие стороны.

Это событие соответствует трем непересекающимся областям на нашем квадрате исходов:

• Обе точки на дуге $AB$: $(d, e) \in [0, 1/3) \times [0, 1/3)$. Площадь: $(1/3)^2 = 1/9$.
• Обе точки на дуге $BC$: $(d, e) \in [1/3, 2/3) \times [1/3, 2/3)$. Площадь: $(1/3)^2 = 1/9$.
• Обе точки на дуге $CA$: $(d, e) \in [2/3, 1) \times [2/3, 1)$. Площадь: $(1/3)^2 = 1/9$.

Суммарная площадь благоприятной области равна сумме площадей этих трех квадратов:$S_{благоприятная} = \frac{1}{9} + \frac{1}{9} + \frac{1}{9} = \frac{3}{9} = \frac{1}{3}$.

Вероятность этого события равна отношению благоприятной площади к общей площади пространства исходов:$P(\text{нет пересечений}) = \frac{S_{благоприятная}}{S_{общая}} = \frac{1/3}{1} = \frac{1}{3}$.

Ответ: $1/3$.

б) пересекает ровно две стороны треугольника.

Проанализируем возможное число пересечений отрезка $DE$ со сторонами треугольника. Так как отрезок является частью прямой, он может пересечь границу треугольника (ломаную из трех звеньев) не более чем в двух точках. Следовательно, отрезок $DE$ может пересечь 0, 1 или 2 стороны. Пересечение 3 сторон невозможно.

Покажем, что пересечение ровно одной стороны невозможно. Допустим, $DE$ пересекает только сторону $AB$. Это значит, что точки $D$ и $E$ находятся по разные стороны от прямой $AB$, но по одну сторону от прямых $BC$ и $CA$. Пусть точка $D$ лежит на дуге $AB$. Тогда:

• Чтобы $DE$ пересекал $AB$, точка $E$ должна лежать на большой дуге $BCA$.
• Чтобы $DE$ не пересекал $BC$, обе точки должны быть по одну сторону от прямой $BC$. Так как $D$ на дуге $BAC$, то и $E$ должна быть на дуге $BAC$, то есть на дуге $BA$ или $AC$. Вместе с предыдущим пунктом это означает, что $E$ должна быть на дуге $CA$.
• Чтобы $DE$ не пересекал $CA$, обе точки должны быть по одну сторону от прямой $CA$. Так как $D$ на дуге $CBA$, то и $E$ должна быть на дуге $CBA$, то есть на дуге $CB$ или $BA$. Это означает, что $E$ должна быть на дуге $BC$.

Получаем противоречие: точка $E$ должна одновременно находиться на дуге $CA$ и на дуге $BC$, что невозможно (кроме точки C, имеющей нулевую меру). Следовательно, вероятность пересечения ровно одной стороны равна нулю.

Таким образом, возможны только два исхода: либо отрезок $DE$ не пересекает ни одной стороны (0 пересечений), либо пересекает ровно две стороны. Эти два события являются взаимодополняющими.

Вероятность того, что отрезок пересекает ровно две стороны, равна:$P(\text{2 пересечения}) = 1 - P(\text{0 пересечений})$.

Используя результат из пункта а), получаем:$P(\text{2 пересечения}) = 1 - \frac{1}{3} = \frac{2}{3}$.

Ответ: $2/3$.

201 Вернувшись из отпуска, Иван Иванович обнаружил, что настенные часы давно остановились. Найдите вероятность того, что время, которое показывают остановившиеся часы, отличается от действительного времени не больше чем на 30 минут.

Данная задача относится к классу задач на геометрическую вероятность. Полный цикл времени на настенных часах составляет 12 часов. Будем считать, что момент остановки часов — это случайное событие, и любое время на циферблате равновероятно.

Общая продолжительность всех возможных исходов (полный цикл часов) в минутах составляет:
$T_{всего} = 12 \text{ часов} \times 60 \frac{\text{минут}}{\text{час}} = 720 \text{ минут}$.

Нас интересует событие, при котором время на остановившихся часах отличается от действительного времени не более чем на 30 минут. Это означает, что если действительное время равно $t$, то показания остановившихся часов должны находиться в интервале от $t - 30$ минут до $t + 30$ минут.

Продолжительность этого интервала благоприятных исходов составляет:
$T_{благоприятный} = 30 \text{ минут} + 30 \text{ минут} = 60 \text{ минут}$.

Вероятность $P$ искомого события можно найти как отношение продолжительности благоприятного интервала ко всей продолжительности временного цикла на часах:
$P = \frac{T_{благоприятный}}{T_{всего}}$

Подставляя числовые значения, получаем:
$P = \frac{60}{720} = \frac{6}{72} = \frac{1}{12}$

Таким образом, вероятность того, что время на остановившихся часах отличается от действительного не более чем на 30 минут, равна $1/12$.

Ответ: $\frac{1}{12}$

202 Из отрезка $[0; 1]$ случайным образом выбирается число $x$. Найдите вероятность того, что:

а) $x < 0,5$;

б) $x > 0,7$;

в) $x \le 0,3$;

г) $x \ge 0,9$.

Для решения этой задачи используется геометрическое определение вероятности. Пространством элементарных исходов является отрезок $[0; 1]$, из которого случайным образом выбирается число $x$. Мерой в данном случае является длина отрезка.

Длина всего отрезка (пространства всех возможных исходов) $\Omega = [0; 1]$ равна $L(\Omega) = 1 - 0 = 1$.

Вероятность события $A$, заключающегося в том, что выбранное число $x$ попадёт в некоторый подынтервал $I \subset [0; 1]$, вычисляется как отношение длины этого подынтервала (благоприятные исходы) к длине всего отрезка (все возможные исходы): $P(A) = \frac{L(I)}{L(\Omega)}$

Поскольку $L(\Omega) = 1$, вероятность события равна длине подынтервала, соответствующего этому событию: $P(A) = L(I)$.

а) $x < 0,5$

Событие состоит в том, что выбранное число $x$ меньше 0,5. Учитывая, что $x$ принадлежит отрезку $[0; 1]$, этому условию удовлетворяют все числа из интервала $[0; 0,5)$.

Длина этого интервала (благоприятных исходов) составляет $L_a = 0,5 - 0 = 0,5$.

Вероятность этого события равна: $P(x < 0,5) = \frac{L_a}{L(\Omega)} = \frac{0,5}{1} = 0,5$.

Ответ: 0,5.

б) $x > 0,7$

Событие состоит в том, что выбранное число $x$ больше 0,7. Учитывая, что $x$ принадлежит отрезку $[0; 1]$, этому условию удовлетворяют все числа из интервала $(0,7; 1]$.

Длина этого интервала (благоприятных исходов) составляет $L_b = 1 - 0,7 = 0,3$.

Вероятность этого события равна: $P(x > 0,7) = \frac{L_b}{L(\Omega)} = \frac{0,3}{1} = 0,3$.

Ответ: 0,3.

в) $x \le 0,3$

Событие состоит в том, что выбранное число $x$ меньше или равно 0,3. Учитывая, что $x$ принадлежит отрезку $[0; 1]$, этому условию удовлетворяют все числа из отрезка $[0; 0,3]$.

Длина этого отрезка (благоприятных исходов) составляет $L_v = 0,3 - 0 = 0,3$.

Вероятность этого события равна: $P(x \le 0,3) = \frac{L_v}{L(\Omega)} = \frac{0,3}{1} = 0,3$.

Ответ: 0,3.

г) $x \ge 0,9$

Событие состоит в том, что выбранное число $x$ больше или равно 0,9. Учитывая, что $x$ принадлежит отрезку $[0; 1]$, этому условию удовлетворяют все числа из отрезка $[0,9; 1]$.

Длина этого отрезка (благоприятных исходов) составляет $L_g = 1 - 0,9 = 0,1$.

Вероятность этого события равна: $P(x \ge 0,9) = \frac{L_g}{L(\Omega)} = \frac{0,1}{1} = 0,1$.

Ответ: 0,1.

203 Из отрезка [0; 1] случайным образом выбирается число x. Найдите вероятность того, что:

а) $2x < 0,5$;

б) $2x - 1 \le 0,4$;

в) $0,4 \le 2x \le 0,6$;

г) $3x \le 0,3$ или $3x \ge 0,9$.

Данная задача относится к области геометрической вероятности. Пространством элементарных исходов является отрезок $[0; 1]$, длина (мера) которого равна $L = 1 - 0 = 1$. Вероятность события определяется как отношение длины интервала благоприятных исходов ($l$) к общей длине интервала ($L$). Таким образом, формула для расчета вероятности: $P = l/L = l/1 = l$. Нам нужно найти длину интервала(ов), удовлетворяющих заданным условиям.

а) 2x < 0,5;

Решим неравенство относительно $x$: $2x < 0,5$ $x < 0,5 / 2$ $x < 0,25$

Поскольку $x$ выбирается из отрезка $[0; 1]$, благоприятные значения $x$ должны удовлетворять условию $0 \le x < 0,25$. Это соответствует полуинтервалу $[0; 0,25)$. Длина этого полуинтервала $l = 0,25 - 0 = 0,25$. Следовательно, вероятность события равна длине этого интервала.

Ответ: 0,25

б) 2x - 1 ≤ 0,4;

Решим неравенство относительно $x$: $2x - 1 \le 0,4$ $2x \le 0,4 + 1$ $2x \le 1,4$ $x \le 1,4 / 2$ $x \le 0,7$

Учитывая, что $x \in [0; 1]$, множество благоприятных исходов — это отрезок $[0; 0,7]$. Длина этого отрезка $l = 0,7 - 0 = 0,7$. Вероятность равна длине этого отрезка.

Ответ: 0,7

в) 0,4 ≤ 2x ≤ 0,6;

Решим двойное неравенство относительно $x$, разделив все его части на 2: $0,4 / 2 \le x \le 0,6 / 2$ $0,2 \le x \le 0,3$

Полученный отрезок $[0,2; 0,3]$ полностью находится внутри отрезка $[0; 1]$. Длина этого отрезка $l = 0,3 - 0,2 = 0,1$. Вероятность равна длине этого отрезка.

Ответ: 0,1

г) 3x ≤ 0,3 или 3x ≥ 0,9.

Данное условие состоит из двух непересекающихся событий. Найдем вероятность для каждого из них и сложим их.

1. Решим первое неравенство: $3x \le 0,3$ $x \le 0,1$ С учетом $x \in [0; 1]$, получаем отрезок $[0; 0,1]$. Его длина $l_1 = 0,1 - 0 = 0,1$.

2. Решим второе неравенство: $3x \ge 0,9$ $x \ge 0,3$ С учетом $x \in [0; 1]$, получаем отрезок $[0,3; 1]$. Его длина $l_2 = 1 - 0,3 = 0,7$.

Множество благоприятных исходов является объединением двух непересекающихся отрезков: $[0; 0,1] \cup [0,3; 1]$. Общая длина благоприятного множества равна сумме длин этих отрезков: $l = l_1 + l_2 = 0,1 + 0,7 = 0,8$. Искомая вероятность равна этой длине.

Ответ: 0,8

1 Сколько элементарных событий возникает при выборе случайной точки из фигуры на плоскости или из отрезка?

В данном контексте, связанном с геометрической вероятностью, под «элементарным событием» или «исходом» понимается выбор одной конкретной точки из заданного множества.

Рассмотрим оба случая, представленные в вопросе:

Выбор точки из отрезка:
Любой отрезок на прямой, например, отрезок $[0, 1]$, представляет собой непрерывное множество точек. Между любыми двумя различными точками отрезка всегда можно найти бесконечное множество других точек. Это означает, что общее число точек на отрезке бесконечно. В математике такое множество называется несчетным, а его мощность — мощностью континуума.

Выбор точки из фигуры на плоскости:
Аналогичная ситуация возникает и с фигурой на плоскости (например, квадратом, кругом или любой другой областью с ненулевой площадью). Такая фигура также состоит из бесконечного числа точек, каждая из которых определяется своими координатами $(x, y)$. Множество всех точек фигуры также является непрерывным и несчетным.

Таким образом, и в отрезке, и в фигуре на плоскости содержится бесконечное число точек. Следовательно, количество элементарных событий при случайном выборе точки из этих множеств является бесконечным.

Ответ: Бесконечно много.

2 Как найти вероятность события «точка, случайно выбранная из отрезка $MN$, принадлежит отрезку $CD$, который содержится в отрезке $MN$»?

Для решения этой задачи используется понятие геометрической вероятности. В одномерном случае (на прямой) вероятность попадания случайно выбранной точки из большего отрезка в меньший, содержащийся в нем, определяется как отношение длин этих отрезков.

1. Пространством всех возможных элементарных исходов является множество точек отрезка MN. Мерой этого пространства служит его длина, которую мы обозначим как длина(MN).

2. Благоприятным исходом считается событие, при котором случайно выбранная точка оказывается на отрезке CD. Множеством благоприятных исходов, таким образом, является сам отрезок CD. Мера этого множества — его длина, длина(CD).

3. Вероятность P данного события вычисляется по формуле геометрической вероятности как отношение меры множества благоприятных исходов к мере всего пространства исходов:
$P = \frac{\text{мера благоприятных исходов}}{\text{мера всех возможных исходов}} = \frac{\text{длина}(CD)}{\text{длина}(MN)}$

Следовательно, чтобы найти искомую вероятность, необходимо разделить длину отрезка CD на длину отрезка MN.

Ответ: Вероятность того, что точка, случайно выбранная из отрезка MN, принадлежит отрезку CD, который содержится в отрезке MN, находится как отношение длины отрезка CD к длине отрезка MN. Формула: $P = \frac{\text{длина}(CD)}{\text{длина}(MN)}$.