Номер 196, страница 65, часть 2 - гдз по алгебре 7-9 класс учебник Высоцкий, Ященко

196 Отрезок $AB$ разбит точками $C$ и $D$ на три равные части $AC$, $CD$ и $DB$. Из отрезка $AB$ выбирают случайную точку $X$. Найдите вероятность того, что точка $X$:

a) принадлежит отрезку $CD$;

б) не принадлежит отрезку $CD$.

Данная задача относится к геометрической вероятности. Вероятность попадания случайно выбранной точки на отрезке в некоторый его подынтервал равна отношению длины этого подынтервала к длине всего отрезка.

Пусть длина всего отрезка $AB$ равна $L$.

По условию, точки $C$ и $D$ делят отрезок $AB$ на три равные части: $AC$, $CD$ и $DB$. Следовательно, длины этих частей равны:

$|AC| = |CD| = |DB|$

Так как $|AB| = |AC| + |CD| + |DB|$, то длина каждой из трех частей составляет одну треть от длины всего отрезка:

$|AC| = |CD| = |DB| = \frac{|AB|}{3} = \frac{L}{3}$

Теперь найдем искомые вероятности.

а) принадлежит отрезку $CD$

Вероятность того, что случайно выбранная точка $X$ попадёт на отрезок $CD$, равна отношению длины отрезка $CD$ к длине отрезка $AB$.

$P(X \in CD) = \frac{|CD|}{|AB|}$

Подставим известные значения длин:

$P(X \in CD) = \frac{L/3}{L} = \frac{1}{3}$

Ответ: $\frac{1}{3}$

б) не принадлежит отрезку $CD$

Событие "точка $X$ не принадлежит отрезку $CD$" является противоположным событию "точка $X$ принадлежит отрезку $CD$". Сумма вероятностей противоположных событий равна 1.

$P(X \notin CD) = 1 - P(X \in CD)$

Используя результат из пункта а), получаем:

$P(X \notin CD) = 1 - \frac{1}{3} = \frac{2}{3}$

Другой способ решения — найти вероятность того, что точка $X$ принадлежит объединению отрезков $AC$ и $DB$. Длина этой области равна:

$|AC| + |DB| = \frac{L}{3} + \frac{L}{3} = \frac{2L}{3}$

Тогда вероятность попадания точки $X$ в эту область равна:

$P(X \notin CD) = \frac{|AC| + |DB|}{|AB|} = \frac{2L/3}{L} = \frac{2}{3}$

Ответ: $\frac{2}{3}$