Номер 194, страница 63, часть 2 - гдз по алгебре 7-9 класс учебник Высоцкий, Ященко

194 Буратино посадил в центре квадратного листа бумаги со стороной 22 см круглую кляксу радиусом 1 см. Сразу после этого Буратино посадил ещё одну такую же кляксу, которая также целиком оказалась на листе. Найдите вероятность того, что эти две кляксы не соприкасаются.

Решение:

Для решения этой задачи воспользуемся методами геометрической вероятности. Вероятность искомого события равна отношению площади области, соответствующей благоприятным исходам, к площади области всех возможных исходов.

1. Определение области всех возможных исходов.

Поместим центр квадратного листа бумаги в начало координат $(0,0)$. Сторона листа равна 22 см, значит, его границы проходят по линиям $x=\pm11$ и $y=\pm11$. Первая клякса радиусом $r=1$ см расположена в центре листа.

Вторая клякса, также радиусом $r=1$ см, должна полностью находиться на листе. Это означает, что её центр $(x,y)$ должен быть удалён от каждого края листа как минимум на расстояние, равное радиусу, то есть на 1 см. Следовательно, допустимые координаты для центра второй кляксы лежат в диапазонах:

$-11+1 \le x \le 11-1$, то есть $-10 \le x \le 10$.

$-11+1 \le y \le 11-1$, то есть $-10 \le y \le 10$.

Таким образом, область всех возможных положений центра второй кляксы представляет собой квадрат со стороной $10 - (-10) = 20$ см. Площадь этой области (общая площадь исходов) составляет:

$S_{общая} = 20^2 = 400$ см$^2$.

2. Определение области благоприятных исходов.

Благоприятным исходом является событие, при котором две кляксы не соприкасаются. Два круга не соприкасаются и не пересекаются, если расстояние между их центрами больше, чем сумма их радиусов.

Центр первой кляксы находится в точке $C_1(0,0)$, а центр второй — в точке $C_2(x,y)$. Радиусы обеих клякс равны 1 см. Сумма их радиусов равна $1+1=2$ см.

Расстояние между центрами клякс вычисляется по формуле: $d = \sqrt{x^2 + y^2}$.

Условие, при котором кляксы не соприкасаются, имеет вид: $d > 2$, или $\sqrt{x^2+y^2} > 2$.

Это неравенство описывает все точки, находящиеся за пределами круга с радиусом 2 см и центром в начале координат.

Следовательно, неблагоприятным исходом будет ситуация, когда кляксы соприкасаются или пересекаются. Это происходит, когда центр второй кляксы попадает в круг радиусом 2 см вокруг центра первой кляксы ($ \sqrt{x^2+y^2} \le 2 $). Площадь этой "запретной" области равна:

$S_{небл} = \pi R^2 = \pi \cdot 2^2 = 4\pi$ см$^2$.

Площадь области благоприятных исходов — это общая площадь за вычетом площади неблагоприятных исходов:

$S_{бл} = S_{общая} - S_{небл} = 400 - 4\pi$ см$^2$.

3. Расчёт вероятности.

Вероятность $P$ того, что две кляксы не соприкасаются, находится как отношение площади благоприятных исходов к общей площади всех исходов:

$P = \frac{S_{бл}}{S_{общая}} = \frac{400 - 4\pi}{400} = 1 - \frac{4\pi}{400} = 1 - \frac{\pi}{100}$.

Ответ: $1 - \frac{\pi}{100}$.