Номер 193, страница 63, часть 2 - гдз по алгебре 7-9 класс учебник Высоцкий, Ященко

193 В прямоугольнике со сторонами $6 \text{ см}$ и $20 \text{ см}$ нарисованы два непересекающихся круга диаметром $3 \text{ см}$ каждый. Найдите вероятность того, что случайно выбранная точка этого прямоугольника:

а) не принадлежит ни одному из этих кругов;

б) не принадлежит хотя бы одному из этих кругов.

Для решения этой задачи по геометрической вероятности, нам нужно найти отношение площади благоприятствующей области к общей площади фигуры. Общей фигурой является прямоугольник.

Сначала вычислим основные площади:

1. Общая площадь (площадь прямоугольника) $S_{общ}$.Стороны прямоугольника равны 6 см и 20 см.$S_{общ} = 6 \text{ см} \times 20 \text{ см} = 120 \text{ см}^2$.

2. Площадь одного круга $S_{кр}$.Диаметр каждого круга $d = 3$ см, следовательно, радиус $r = \frac{d}{2} = \frac{3}{2} = 1.5$ см.Площадь круга вычисляется по формуле $S = \pi r^2$.$S_{кр} = \pi \times (1.5)^2 = 2.25\pi \text{ см}^2$.

3. Суммарная площадь двух кругов $S_{2кр}$.Так как в прямоугольнике нарисованы два одинаковых круга, их общая площадь равна:$S_{2кр} = 2 \times S_{кр} = 2 \times 2.25\pi = 4.5\pi \text{ см}^2$.

а) не принадлежит ни одному из этих кругов;

Это событие означает, что случайно выбранная точка находится в области прямоугольника, но вне обоих кругов.

Площадь благоприятной для этого события области $S_{а}$ равна разности площади прямоугольника и суммарной площади двух кругов:$S_{а} = S_{общ} - S_{2кр} = 120 - 4.5\pi \text{ см}^2$.

Вероятность $P(a)$ этого события равна отношению благоприятной площади к общей площади:$P(a) = \frac{S_{а}}{S_{общ}} = \frac{120 - 4.5\pi}{120} = 1 - \frac{4.5\pi}{120} = 1 - \frac{9\pi}{240} = 1 - \frac{3\pi}{80}$.

Ответ: $1 - \frac{3\pi}{80}$.

б) не принадлежит хотя бы одному из этих кругов.

Событие "точка не принадлежит хотя бы одному из кругов" означает, что точка либо не находится в первом круге, либо не находится во втором круге. Это событие является дополнением к событию "точка принадлежит обоим кругам одновременно".

В условии задачи указано, что круги являются непересекающимися. Это означает, что не существует точки, которая могла бы принадлежать обоим кругам сразу. Область их пересечения пуста, и ее площадь равна нулю.

Следовательно, вероятность того, что случайно выбранная точка попадет в пересечение двух кругов (т.е. будет принадлежать обоим кругам), равна нулю.

Вероятность искомого события $P(б)$ равна единице минус вероятность противоположного события:$P(б) = 1 - P(\text{точка принадлежит обоим кругам}) = 1 - 0 = 1$.

Таким образом, любая точка, выбранная в прямоугольнике, удовлетворяет условию "не принадлежит хотя бы одному из кругов", потому что невозможно, чтобы она принадлежала обоим непересекающимся кругам.

Ответ: $1$.