Номер 195, страница 63, часть 2 - гдз по алгебре 7-9 класс учебник Высоцкий, Ященко

195 Монету диаметром 2 см наудачу бросают на шахматную доску со стороной клетки 3 см. Какова вероятность того, что упавшая монета целиком поместилась в одной клетке?

Для решения этой задачи воспользуемся методами геометрической вероятности. Вероятность события A ($P(A)$) определяется как отношение меры области, благоприятствующей событию ($S_{бл}$), к мере всей области возможных исходов ($S_{общ}$). В данном случае мерой является площадь.

Рассмотрим одну клетку шахматной доски. Это квадрат со стороной $a = 3$ см. Положение монеты определяется положением ее центра. Будем считать, что центр монеты может с равной вероятностью оказаться в любой точке этой клетки. Таким образом, общая площадь возможных положений для центра монеты равна площади клетки:

$S_{общ} = a^2 = 3^2 = 9$ см$^2$.

Теперь определим область, благоприятствующую событию. Событие заключается в том, что монета целиком поместилась в одной клетке. Диаметр монеты $d = 2$ см, следовательно, ее радиус $r = d/2 = 1$ см.

Чтобы монета полностью находилась внутри клетки, ее центр должен находиться на расстоянии не менее радиуса $r$ от каждой из сторон клетки. Это означает, что центр монеты должен располагаться внутри меньшего квадрата, стороны которого отстоят от сторон клетки на $r=1$ см.

Сторона этого внутреннего, "благоприятного" квадрата будет равна:

$a_{бл} = a - 2r = a - d = 3 - 2 = 1$ см.

Площадь, благоприятствующая событию, равна площади этого меньшего квадрата:

$S_{бл} = a_{бл}^2 = 1^2 = 1$ см$^2$.

Теперь можем найти искомую вероятность как отношение благоприятной площади к общей площади:

$P = \frac{S_{бл}}{S_{общ}} = \frac{1}{9}$

Ответ: $\frac{1}{9}$