Номер 199, страница 65, часть 2 - гдз по алгебре 7-9 класс учебник Высоцкий, Ященко

199 На окружности с центром $O$ выбрана точка $A$. Из этой окружности выбирают случайную точку $X$. Найдите вероятность того, что угол $AOX$:

a) меньше $90^\circ$;

б) больше $120^\circ$;

в) находится в пределах от $30^\circ$ до $60^\circ$.

Данная задача относится к геометрической вероятности. Вероятность события определяется как отношение меры области благоприятных исходов к мере области всех возможных исходов. В качестве меры будем использовать величину центрального угла, соответствующего дуге окружности, на которой может находиться случайная точка $X$.

Полная окружность соответствует центральному углу в $360^{\circ}$. Это мера пространства всех возможных положений точки $X$.

Угол $\angle AOX$ принято считать наименьшим положительным углом между лучами $OA$ и $OX$, поэтому его значение находится в диапазоне от $0^{\circ}$ до $180^{\circ}$. Это означает, что для любого угла $\alpha$ из интервала $(0^{\circ}, 180^{\circ})$ на окружности существуют две точки $X$, для которых $\angle AOX = \alpha$. Эти точки симметричны относительно прямой $OA$.

Требуется найти вероятность того, что $\angle AOX < 90^{\circ}$.Благоприятные положения точки $X$ — это те, для которых угол между $OA$ и $OX$ меньше $90^{\circ}$. Такие точки образуют две дуги, симметричные относительно прямой $OA$.Одна дуга соответствует отклонению от луча $OA$ на угол до $90^{\circ}$ в одном направлении (например, против часовой стрелки).Другая дуга соответствует отклонению на угол до $90^{\circ}$ в другом направлении (по часовой стрелке).Суммарная угловая мера этих двух дуг, составляющих область благоприятных исходов, равна:$90^{\circ} + 90^{\circ} = 180^{\circ}$.

Вероятность этого события равна отношению угловой меры благоприятной области к полной угловой мере окружности:$P(\angle AOX < 90^{\circ}) = \frac{180^{\circ}}{360^{\circ}} = \frac{1}{2}$.

Ответ: $\frac{1}{2}$

Требуется найти вероятность того, что $\angle AOX > 120^{\circ}$.Поскольку $\angle AOX$ не может превышать $180^{\circ}$, это условие эквивалентно $120^{\circ} < \angle AOX \le 180^{\circ}$.Точки $X$, удовлетворяющие этому условию, также образуют две симметричные дуги.Рассмотрим отклонение от луча $OA$. Если угол отклонения (в любую сторону) меньше или равен $120^{\circ}$, то это неблагоприятный исход. Угловая мера области неблагоприятных исходов составляет $120^{\circ} + 120^{\circ} = 240^{\circ}$.Область благоприятных исходов — это оставшаяся часть окружности. Её угловая мера равна:$360^{\circ} - 240^{\circ} = 120^{\circ}$.

Вероятность этого события:$P(\angle AOX > 120^{\circ}) = \frac{120^{\circ}}{360^{\circ}} = \frac{1}{3}$.

Ответ: $\frac{1}{3}$

Требуется найти вероятность того, что $30^{\circ} \le \angle AOX \le 60^{\circ}$.Благоприятные положения точки $X$ снова образуют две симметричные дуги.Первая дуга соответствует точкам, угол до которых от луча $OA$ (например, против часовой стрелки) находится в диапазоне от $30^{\circ}$ до $60^{\circ}$. Угловая мера этой дуги составляет $60^{\circ} - 30^{\circ} = 30^{\circ}$.Вторая дуга симметрична первой и соответствует отклонению по часовой стрелке в том же диапазоне углов. Её угловая мера также равна $30^{\circ}$.

Суммарная угловая мера области благоприятных исходов:$30^{\circ} + 30^{\circ} = 60^{\circ}$.

Вероятность этого события:$P(30^{\circ} \le \angle AOX \le 60^{\circ}) = \frac{60^{\circ}}{360^{\circ}} = \frac{1}{6}$.

Ответ: $\frac{1}{6}$