Номер 200, страница 65, часть 2 - гдз по алгебре 7-9 класс учебник Высоцкий, Ященко

200 В окружность вписан равносторонний треугольник $ABC$. На этой окружности случайным образом выбирают две точки — $D$ и $E$. Найдите вероятность того, что отрезок $DE$:

а) не пересекает ни одну из сторон треугольника;

б) пересекает ровно две стороны треугольника.

Для решения задачи воспользуемся методом геометрической вероятности. Пусть длина окружности равна 1. Расположим вершины равностороннего треугольника $ABC$ в точках 0, $1/3$ и $2/3$ на окружности. Таким образом, окружность делится на три равные дуги: дуга $AB$ (от 0 до $1/3$), дуга $BC$ (от $1/3$ до $2/3$) и дуга $CA$ (от $2/3$ до 1). Длина каждой дуги равна $1/3$.

Выбор двух случайных точек $D$ и $E$ на окружности можно представить как выбор двух случайных чисел $d$ и $e$ из отрезка $[0, 1)$. Пространством элементарных исходов является квадрат $[0, 1) \times [0, 1)$ с площадью 1. Вероятность события равна площади области в этом квадрате, соответствующей данному событию.

а) не пересекает ни одну из сторон треугольника;

Отрезок (хорда) $DE$ не пересекает ни одну из сторон треугольника $ABC$ тогда и только тогда, когда обе точки, $D$ и $E$, лежат на одной и той же дуге, образованной вершинами треугольника (то есть на дуге $AB$, или на дуге $BC$, или на дуге $CA$). В этом случае хорда целиком лежит в сегменте, отсекаемом соответствующей стороной, и не может пересечь другие стороны.

Это событие соответствует трем непересекающимся областям на нашем квадрате исходов:

• Обе точки на дуге $AB$: $(d, e) \in [0, 1/3) \times [0, 1/3)$. Площадь: $(1/3)^2 = 1/9$.
• Обе точки на дуге $BC$: $(d, e) \in [1/3, 2/3) \times [1/3, 2/3)$. Площадь: $(1/3)^2 = 1/9$.
• Обе точки на дуге $CA$: $(d, e) \in [2/3, 1) \times [2/3, 1)$. Площадь: $(1/3)^2 = 1/9$.

Суммарная площадь благоприятной области равна сумме площадей этих трех квадратов:$S_{благоприятная} = \frac{1}{9} + \frac{1}{9} + \frac{1}{9} = \frac{3}{9} = \frac{1}{3}$.

Вероятность этого события равна отношению благоприятной площади к общей площади пространства исходов:$P(\text{нет пересечений}) = \frac{S_{благоприятная}}{S_{общая}} = \frac{1/3}{1} = \frac{1}{3}$.

Ответ: $1/3$.

б) пересекает ровно две стороны треугольника.

Проанализируем возможное число пересечений отрезка $DE$ со сторонами треугольника. Так как отрезок является частью прямой, он может пересечь границу треугольника (ломаную из трех звеньев) не более чем в двух точках. Следовательно, отрезок $DE$ может пересечь 0, 1 или 2 стороны. Пересечение 3 сторон невозможно.

Покажем, что пересечение ровно одной стороны невозможно. Допустим, $DE$ пересекает только сторону $AB$. Это значит, что точки $D$ и $E$ находятся по разные стороны от прямой $AB$, но по одну сторону от прямых $BC$ и $CA$. Пусть точка $D$ лежит на дуге $AB$. Тогда:

• Чтобы $DE$ пересекал $AB$, точка $E$ должна лежать на большой дуге $BCA$.
• Чтобы $DE$ не пересекал $BC$, обе точки должны быть по одну сторону от прямой $BC$. Так как $D$ на дуге $BAC$, то и $E$ должна быть на дуге $BAC$, то есть на дуге $BA$ или $AC$. Вместе с предыдущим пунктом это означает, что $E$ должна быть на дуге $CA$.
• Чтобы $DE$ не пересекал $CA$, обе точки должны быть по одну сторону от прямой $CA$. Так как $D$ на дуге $CBA$, то и $E$ должна быть на дуге $CBA$, то есть на дуге $CB$ или $BA$. Это означает, что $E$ должна быть на дуге $BC$.

Получаем противоречие: точка $E$ должна одновременно находиться на дуге $CA$ и на дуге $BC$, что невозможно (кроме точки C, имеющей нулевую меру). Следовательно, вероятность пересечения ровно одной стороны равна нулю.

Таким образом, возможны только два исхода: либо отрезок $DE$ не пересекает ни одной стороны (0 пересечений), либо пересекает ровно две стороны. Эти два события являются взаимодополняющими.

Вероятность того, что отрезок пересекает ровно две стороны, равна:$P(\text{2 пересечения}) = 1 - P(\text{0 пересечений})$.

Используя результат из пункта а), получаем:$P(\text{2 пересечения}) = 1 - \frac{1}{3} = \frac{2}{3}$.

Ответ: $2/3$.