Номер 203, страница 65, часть 2 - гдз по алгебре 7-9 класс учебник Высоцкий, Ященко

203 Из отрезка [0; 1] случайным образом выбирается число x. Найдите вероятность того, что:

а) $2x < 0,5$;

б) $2x - 1 \le 0,4$;

в) $0,4 \le 2x \le 0,6$;

г) $3x \le 0,3$ или $3x \ge 0,9$.

Данная задача относится к области геометрической вероятности. Пространством элементарных исходов является отрезок $[0; 1]$, длина (мера) которого равна $L = 1 - 0 = 1$. Вероятность события определяется как отношение длины интервала благоприятных исходов ($l$) к общей длине интервала ($L$). Таким образом, формула для расчета вероятности: $P = l/L = l/1 = l$. Нам нужно найти длину интервала(ов), удовлетворяющих заданным условиям.

а) 2x < 0,5;

Решим неравенство относительно $x$: $2x < 0,5$ $x < 0,5 / 2$ $x < 0,25$

Поскольку $x$ выбирается из отрезка $[0; 1]$, благоприятные значения $x$ должны удовлетворять условию $0 \le x < 0,25$. Это соответствует полуинтервалу $[0; 0,25)$. Длина этого полуинтервала $l = 0,25 - 0 = 0,25$. Следовательно, вероятность события равна длине этого интервала.

Ответ: 0,25

б) 2x - 1 ≤ 0,4;

Решим неравенство относительно $x$: $2x - 1 \le 0,4$ $2x \le 0,4 + 1$ $2x \le 1,4$ $x \le 1,4 / 2$ $x \le 0,7$

Учитывая, что $x \in [0; 1]$, множество благоприятных исходов — это отрезок $[0; 0,7]$. Длина этого отрезка $l = 0,7 - 0 = 0,7$. Вероятность равна длине этого отрезка.

Ответ: 0,7

в) 0,4 ≤ 2x ≤ 0,6;

Решим двойное неравенство относительно $x$, разделив все его части на 2: $0,4 / 2 \le x \le 0,6 / 2$ $0,2 \le x \le 0,3$

Полученный отрезок $[0,2; 0,3]$ полностью находится внутри отрезка $[0; 1]$. Длина этого отрезка $l = 0,3 - 0,2 = 0,1$. Вероятность равна длине этого отрезка.

Ответ: 0,1

г) 3x ≤ 0,3 или 3x ≥ 0,9.

Данное условие состоит из двух непересекающихся событий. Найдем вероятность для каждого из них и сложим их.

1. Решим первое неравенство: $3x \le 0,3$ $x \le 0,1$ С учетом $x \in [0; 1]$, получаем отрезок $[0; 0,1]$. Его длина $l_1 = 0,1 - 0 = 0,1$.

2. Решим второе неравенство: $3x \ge 0,9$ $x \ge 0,3$ С учетом $x \in [0; 1]$, получаем отрезок $[0,3; 1]$. Его длина $l_2 = 1 - 0,3 = 0,7$.

Множество благоприятных исходов является объединением двух непересекающихся отрезков: $[0; 0,1] \cup [0,3; 1]$. Общая длина благоприятного множества равна сумме длин этих отрезков: $l = l_1 + l_2 = 0,1 + 0,7 = 0,8$. Искомая вероятность равна этой длине.

Ответ: 0,8