Номер 205, страница 66, часть 2 - гдз по алгебре 7-9 класс учебник Высоцкий, Ященко

205 Из отрезка $[0; 1]$ случайным образом независимо друг от друга выбираются два числа $x$ и $y$. Найдите вероятность того, что:

а) $x < \frac{1}{2}, y < \frac{1}{2};$

б) $x > 0.7, y < 0.4;$

в) $0.2 < x < 0.8, 0.3 < y < 0.5;$

г) $x < 1, y > 0.4.$

а) $x < \frac{1}{2}, y < \frac{1}{2}$

Поскольку числа $x$ и $y$ выбираются независимо и случайным образом из отрезка $[0, 1]$, мы имеем дело с равномерным распределением. Вероятность того, что случайная величина попадёт в некоторый подинтервал, равна длине этого подинтервала. Вероятность совместного выполнения независимых событий равна произведению их вероятностей.

Вероятность того, что $x < \frac{1}{2}$, соответствует длине интервала $[0, \frac{1}{2})$, которая равна $P(x < \frac{1}{2}) = \frac{1}{2} - 0 = \frac{1}{2}$.

Аналогично, вероятность того, что $y < \frac{1}{2}$, равна $P(y < \frac{1}{2}) = \frac{1}{2} - 0 = \frac{1}{2}$.

Искомая вероятность равна произведению этих вероятностей: $P(x < \frac{1}{2}, y < \frac{1}{2}) = P(x < \frac{1}{2}) \times P(y < \frac{1}{2}) = \frac{1}{2} \times \frac{1}{2} = \frac{1}{4} = 0,25$.

Ответ: $0,25$.

б) $x > 0,7, y < 0,4$

Находим вероятности для каждой переменной, которые равны длинам соответствующих интервалов.

Вероятность для $x$: $P(x > 0,7)$ соответствует интервалу $(0,7; 1]$, его длина равна $1 - 0,7 = 0,3$.

Вероятность для $y$: $P(y < 0,4)$ соответствует интервалу $[0; 0,4)$, его длина равна $0,4 - 0 = 0,4$.

Поскольку события независимы, искомая вероятность равна произведению их вероятностей: $P(x > 0,7, y < 0,4) = P(x > 0,7) \times P(y < 0,4) = 0,3 \times 0,4 = 0,12$.

Ответ: $0,12$.

в) $0,2 < x < 0,8, 0,3 < y < 0,5$

Находим вероятности для каждой переменной как длины соответствующих интервалов.

Вероятность для $x$: $P(0,2 < x < 0,8) = 0,8 - 0,2 = 0,6$.

Вероятность для $y$: $P(0,3 < y < 0,5) = 0,5 - 0,3 = 0,2$.

Искомая вероятность равна произведению вероятностей независимых событий: $P(0,2 < x < 0,8, 0,3 < y < 0,5) = P(0,2 < x < 0,8) \times P(0,3 < y < 0,5) = 0,6 \times 0,2 = 0,12$.

Ответ: $0,12$.

г) $x < 1, y > 0,4$

Находим вероятности для каждой переменной как длины соответствующих интервалов.

Вероятность для $x$: $P(x < 1)$ соответствует интервалу $[0; 1)$, его длина равна $1 - 0 = 1$.

Вероятность для $y$: $P(y > 0,4)$ соответствует интервалу $(0,4; 1]$, его длина равна $1 - 0,4 = 0,6$.

Искомая вероятность равна произведению вероятностей: $P(x < 1, y > 0,4) = P(x < 1) \times P(y > 0,4) = 1 \times 0,6 = 0,6$.

Ответ: $0,6$.