Номер 211, страница 70, часть 2 - гдз по алгебре 7-9 класс учебник Высоцкий, Ященко

211 Монету бросают до тех пор, пока не выпадет орёл. Постройте дерево эксперимента. Укажите в дереве событие $A$ и найдите его вероятность, если событие $A$ состоит в том, что:

а) потребуется ровно два броска;

б) три раза выпадает решка, на четвёртый раз — орёл;

в) потребуется три или четыре броска, чтобы орёл появился в первый раз;

г) первые четыре броска окончатся решкой.

Обозначим выпадение орла буквой "О", а решки – "Р". Так как монета симметрична, вероятность выпадения орла $P(О) = \frac{1}{2}$, и вероятность выпадения решки $P(Р) = \frac{1}{2}$. Эксперимент заключается в подбрасывании монеты до тех пор, пока не выпадет орёл. Это означает, что как только выпадает орёл, серия бросков прекращается.

Дерево эксперимента представляет собой последовательность бросков. Каждый узел (бросок) имеет два возможных исхода: О (орёл) или Р (решка), каждый с вероятностью $\frac{1}{2}$. Ветвь дерева обрывается, как только на ней появляется "О".

• На первом шаге (1-й бросок):
  • С вероятностью $\frac{1}{2}$ выпадает "О". Эксперимент завершается. Исход: О.
  • С вероятностью $\frac{1}{2}$ выпадает "Р". Эксперимент продолжается.
• На втором шаге (2-й бросок, если первый был "Р"):
  • С вероятностью $\frac{1}{2}$ выпадает "О". Эксперимент завершается. Исход: РО. Вероятность этого исхода: $\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{4}$.
  • С вероятностью $\frac{1}{2}$ выпадает "Р". Эксперимент продолжается.
• На третьем шаге (3-й бросок, если первые два были "РР"):
  • С вероятностью $\frac{1}{2}$ выпадает "О". Эксперимент завершается. Исход: РРО. Вероятность этого исхода: $(\frac{1}{2})^3 = \frac{1}{8}$.
  • С вероятностью $\frac{1}{2}$ выпадает "Р". Эксперимент продолжается.
• И так далее...

а) потребуется ровно два броска;

Событие A состоит в том, что орёл выпал впервые ровно на втором броске. Это означает, что первый бросок должен был быть решкой (Р), а второй – орлом (О). В дереве эксперимента этому соответствует ветвь, ведущая к исходу РО. Вероятность этого события вычисляется как произведение вероятностей независимых событий (первый бросок - решка И второй бросок - орёл): $P(A) = P(Р) \cdot P(О) = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{4}$.
Ответ: $\frac{1}{4}$.

б) три раза выпадет решка, на четвёртый раз — орёл;

Событие A состоит в том, что первые три броска были решками (РРР), а четвертый – орлом (О). В дереве эксперимента этому соответствует исход РРРО. Вероятность этого события: $P(A) = P(Р) \cdot P(Р) \cdot P(Р) \cdot P(О) = (\frac{1}{2})^3 \cdot \frac{1}{2} = (\frac{1}{2})^4 = \frac{1}{16}$.
Ответ: $\frac{1}{16}$.

в) потребуется три или четыре броска, чтобы орёл появился в первый раз;

Событие A является объединением двух несовместных событий:
1. Орёл выпал в первый раз на третьем броске (исход РРО).
2. Орёл выпал в первый раз на четвертом броске (исход РРРО).
В дереве эксперимента это событие A соответствует двум конечным ветвям: РРО и РРРО. Найдём вероятности каждого из этих исходов:
$P(РРО) = (\frac{1}{2})^3 = \frac{1}{8}$.
$P(РРРО) = (\frac{1}{2})^4 = \frac{1}{16}$.
Поскольку эти исходы несовместны, вероятность события A равна сумме их вероятностей: $P(A) = P(РРО) + P(РРРО) = \frac{1}{8} + \frac{1}{16} = \frac{2}{16} + \frac{1}{16} = \frac{3}{16}$.
Ответ: $\frac{3}{16}$.

г) первые четыре броска окончатся решкой.

Событие A состоит в том, что в первых четырех бросках выпала решка. Это последовательность РРРР. В дереве эксперимента это не конечный исход, а путь, после которого эксперимент продолжается (так как орёл ещё не выпал). Мы ищем вероятность именно этой последовательности из четырех бросков. Вероятность этой последовательности: $P(A) = P(Р) \cdot P(Р) \cdot P(Р) \cdot P(Р) = (\frac{1}{2})^4 = \frac{1}{16}$.
Ответ: $\frac{1}{16}$.