Номер 209, страница 70, часть 2 - гдз по алгебре 7-9 класс учебник Высоцкий, Ященко

209 Обычную симметричную монету бросают до выпадения первого орла. При первых пяти бросках выпала решка. Какое или какие из следующих утверждений верны?

1) Слишком много решек подряд быть не может, поэтому более вероятно, что в шестой раз выпадет орёл.

2) По какой-то причине в этом опыте решки имеют преимущество перед орлами. Более вероятно, что в следующий раз тоже выпадет решка.

3) При шестом броске орёл и решка имеют равные шансы, так же как они имели равные шансы при каждом из предыдущих бросков.

4) Более вероятно, что орёл случится при шестом броске, чем при седьмом.

Для решения этой задачи необходимо понимать два ключевых принципа теории вероятностей:

1. Независимость событий: Результат каждого следующего броска монеты не зависит от результатов предыдущих бросков. Монета не имеет "памяти".
2. Симметричность монеты: Указано, что монета "обычная симметричная", это означает, что вероятность выпадения орла (О) и решки (Р) одинакова и равна $1/2$ при каждом броске. $P(О) = P(Р) = 0.5$.

Исходя из этих принципов, проанализируем каждое утверждение.

1) Слишком много решек подряд быть не может, поэтому более вероятно, что в шестой раз выпадет орёл.
Это утверждение является классическим примером "ошибки игрока". Прошлые результаты (пять решек подряд) никак не влияют на результат шестого броска. Вероятность выпадения орла на шестом броске остается такой же, как и вероятность выпадения решки.
$P(О_6) = 0.5$
$P(Р_6) = 0.5$
Шансы равны, поэтому утверждение неверно.
Ответ: Утверждение неверно.

2) По какой-то причине в этом опыте решки имеют преимущество перед орлами. Более вероятно, что в следующий раз тоже выпадет решка.
Это утверждение предполагает, что наблюдаемая серия из пяти решек свидетельствует о несимметричности монеты. Однако в условии задачи прямо сказано, что монета симметричная. Серия из пяти решек — это случайное событие, которое, хоть и маловероятно (его вероятность $ (0.5)^5 = 1/32 $), но не меняет свойств самой монеты. Вероятность выпадения решки в следующий раз по-прежнему равна $0.5$.
Ответ: Утверждение неверно.

3) При шестом броске орёл и решка имеют равные шансы, так же как они имели равные шансы при каждом из предыдущих бросков.
Это утверждение абсолютно верно. Оно точно описывает свойство независимости испытаний. Для симметричной монеты вероятность выпадения орла или решки всегда составляет $0.5$ для любого броска, независимо от предыдущей истории.
$P(О_6) = P(Р_6) = 0.5$.
Ответ: Утверждение верно.

4) Более вероятно, что орёл случится при шестом броске, чем при седьмом.
Это утверждение сравнивает вероятности завершения эксперимента на шестом и седьмом шагах, при условии, что первые пять бросков были решками.
Вероятность того, что первый орёл выпадет на шестом броске, равна вероятности выпадения орла на этом броске:
$P(\text{первый орёл на 6-м броске}) = P(О_6) = 0.5$.
Чтобы первый орёл выпал на седьмом броске, необходимо, чтобы на шестом броске выпала решка, а на седьмом — орёл. Вероятность этой последовательности событий равна произведению их вероятностей:
$P(\text{первый орёл на 7-м броске}) = P(Р_6) \times P(О_7) = 0.5 \times 0.5 = 0.25$.
Сравнивая эти две вероятности, мы видим, что $0.5 > 0.25$. Следовательно, действительно более вероятно, что эксперимент закончится на шестом броске, а не на седьмом. Утверждение верно.
Ответ: Утверждение верно.

Таким образом, верными являются утверждения 3 и 4.