Номер 191, страница 62, часть 2 - гдз по алгебре 7-9 класс учебник Высоцкий, Ященко

191 В квадрате $ABCD$ случайным образом выбирается точка $X$. Найдите вероятность того, что эта точка принадлежит трапеции $AMCD$, где точка $M$:

a) середина стороны $BC$;

б) делит отрезок $BC$ в отношении $1:2$, считая от точки $C$;

в) делит отрезок $BC$ в отношении $m:n$, считая от точки $B$.

Вероятность того, что случайная точка X, выбранная в квадрате ABCD, принадлежит трапеции AMCD, определяется как отношение площади трапеции AMCD к площади квадрата ABCD. Это задача на геометрическую вероятность.

Пусть сторона квадрата ABCD равна $a$. Тогда его площадь $S_{ABCD} = a^2$.

Фигура AMCD является прямоугольной трапецией, так как $MC \parallel AD$ (поскольку точка $M$ лежит на стороне $BC$, а $BC \parallel AD$) и боковая сторона $CD$ перпендикулярна основаниям $AD$ и $MC$.

Площадь трапеции вычисляется по формуле: $S_{трапеции} = \frac{полусумма \ оснований}{2} \cdot высота$. В нашем случае основаниями являются $AD$ и $MC$, а высотой — $CD$.

$S_{AMCD} = \frac{AD + MC}{2} \cdot CD$.

Так как $AD = a$ и $CD = a$, формула для площади трапеции принимает вид: $S_{AMCD} = \frac{a + MC}{2} \cdot a$.

Искомая вероятность $P$ равна отношению площадей:

$P = \frac{S_{AMCD}}{S_{ABCD}} = \frac{\frac{a + MC}{2} \cdot a}{a^2} = \frac{a + MC}{2a}$.

Теперь решим задачу для каждого из предложенных случаев.

а) Точка M — середина стороны BC.

Длина стороны BC равна $a$. Так как M — середина BC, то длина отрезка MC равна половине длины BC.

$MC = \frac{1}{2} BC = \frac{a}{2}$.

Подставим это значение в формулу для вероятности:

$P = \frac{a + MC}{2a} = \frac{a + \frac{a}{2}}{2a} = \frac{\frac{3a}{2}}{2a} = \frac{3a}{4a} = \frac{3}{4}$.

Ответ: $\frac{3}{4}$.

б) Точка M делит отрезок BC в отношении $1:2$, считая от точки C.

Это означает, что отношение длин отрезков $CM$ к $MB$ равно $1:2$, то есть $CM:MB = 1:2$.

Весь отрезок BC, равный $a$, можно разделить на $1+2=3$ равные части. Отрезок CM составляет одну из этих частей.

$MC = \frac{1}{1+2} BC = \frac{1}{3} a = \frac{a}{3}$.

Подставим найденное значение MC в формулу для вероятности:

$P = \frac{a + MC}{2a} = \frac{a + \frac{a}{3}}{2a} = \frac{\frac{4a}{3}}{2a} = \frac{4a}{6a} = \frac{2}{3}$.

Ответ: $\frac{2}{3}$.

в) Точка M делит отрезок BC в отношении $m:n$, считая от точки B.

Это означает, что отношение длин отрезков $BM$ к $MC$ равно $m:n$, то есть $BM:MC = m:n$.

Весь отрезок BC, равный $a$, можно разделить на $m+n$ равных частей. Отрезок MC составляет $n$ из этих частей.

$MC = \frac{n}{m+n} BC = \frac{n}{m+n} a$.

Подставим это выражение для MC в формулу для вероятности:

$P = \frac{a + MC}{2a} = \frac{a + \frac{n}{m+n}a}{2a} = \frac{a(1 + \frac{n}{m+n})}{2a} = \frac{1 + \frac{n}{m+n}}{2}$.

Приведем числитель к общему знаменателю:

$P = \frac{\frac{m+n+n}{m+n}}{2} = \frac{\frac{m+2n}{m+n}}{2} = \frac{m+2n}{2(m+n)}$.

Ответ: $\frac{m+2n}{2(m+n)}$.