Номер 184, страница 58, часть 2 - гдз по алгебре 7-9 класс учебник Высоцкий, Ященко

184 На книжной полке 6 романов и 4 повести, расположенные в случайном порядке. С полки сняли 7 первых попавшихся книг. Найдите вероятность того, что на полке остались:

a) только повести;

б) только романы.

Указание. a) Элементарным событием будем считать комбинацию из трёх оставшихся на полке книг. Всего таких комбинаций $C_{10}^{3}$. Событию «остались только повести» благоприятствуют $C_{4}^{3}$ элементарных событий, поскольку повестей всего 4.

Всего на книжной полке находится $6$ романов и $4$ повести, то есть $6 + 4 = 10$ книг. С полки сняли 7 книг, следовательно, на полке осталось $10 - 7 = 3$ книги. Для решения задачи будем использовать классическое определение вероятности. Элементарным исходом будем считать любой возможный набор из 3 книг, оставшихся на полке.

Общее число возможных исходов (N) равно числу способов выбрать 3 книги из 10 имеющихся. Поскольку порядок выбора не имеет значения, используем формулу для числа сочетаний:

$N = C_{10}^3 = \frac{10!}{3!(10-3)!} = \frac{10!}{3!7!} = \frac{10 \cdot 9 \cdot 8}{3 \cdot 2 \cdot 1} = 10 \cdot 3 \cdot 4 = 120$.

Таким образом, существует 120 различных комбинаций из трех книг, которые могут остаться на полке.

а) только повести;

Найдем вероятность события A, которое заключается в том, что на полке остались только повести. Это означает, что все 3 оставшиеся книги являются повестями. Всего повестей 4.

Число благоприятствующих этому событию исходов ($M_a$) равно числу способов выбрать 3 повести из 4 имеющихся:

$M_a = C_4^3 = \frac{4!}{3!(4-3)!} = \frac{4!}{3!1!} = 4$.

Вероятность события A вычисляется как отношение числа благоприятствующих исходов к общему числу исходов:

$P(A) = \frac{M_a}{N} = \frac{C_4^3}{C_{10}^3} = \frac{4}{120} = \frac{1}{30}$.

Ответ: $\frac{1}{30}$.

б) только романы.

Найдем вероятность события B, которое заключается в том, что на полке остались только романы. Это означает, что все 3 оставшиеся книги являются романами. Всего романов 6.

Число благоприятствующих этому событию исходов ($M_b$) равно числу способов выбрать 3 романа из 6 имеющихся:

$M_b = C_6^3 = \frac{6!}{3!(6-3)!} = \frac{6!}{3!3!} = \frac{6 \cdot 5 \cdot 4}{3 \cdot 2 \cdot 1} = 20$.

Вероятность события B вычисляется как отношение числа благоприятствующих исходов к общему числу исходов:

$P(B) = \frac{M_b}{N} = \frac{C_6^3}{C_{10}^3} = \frac{20}{120} = \frac{1}{6}$.

Ответ: $\frac{1}{6}$.