Номер 188, страница 62, часть 2 - гдз по алгебре 7-9 класс учебник Высоцкий, Ященко

188 Из прямоугольника случайным образом выбирается точка. Найдите вероятность события:

a) «точка принадлежит ромбу, вершинами которого служат середины сторон прямоугольника»;

б) «точка принадлежит треугольнику, вершинами которого служат две соседние вершины прямоугольника и точка пересечения его диагоналей».

Для решения задачи по геометрической вероятности необходимо найти отношение площади фигуры, в которую должна попасть точка (благоприятный исход), к площади всей фигуры, из которой выбирается точка (общее пространство исходов).

Пусть дан прямоугольник со сторонами $a$ и $b$. Его площадь $S_{прямоугольника}$ равна:

$S_{прямоугольника} = a \cdot b$

а) «точка принадлежит ромбу, вершинами которого служат середины сторон прямоугольника»

Соединив середины сторон прямоугольника, мы получим ромб. Диагонали этого ромба параллельны сторонам прямоугольника и равны им по длине. То есть, длины диагоналей ромба равны $a$ и $b$.

Площадь ромба ($S_{ромба}$) вычисляется как половина произведения его диагоналей:

$S_{ромба} = \frac{1}{2} \cdot a \cdot b$

Вероятность того, что случайно выбранная точка принадлежит этому ромбу, равна отношению площади ромба к площади прямоугольника:

$P = \frac{S_{ромба}}{S_{прямоугольника}} = \frac{\frac{1}{2}ab}{ab} = \frac{1}{2}$

Ответ: $\frac{1}{2}$

б) «точка принадлежит треугольнику, вершинами которого служат две соседние вершины прямоугольника и точка пересечения его диагоналей»

Диагонали прямоугольника пересекаются в его центре и делят прямоугольник на четыре треугольника с равными площадями. Каждая из этих площадей составляет $\frac{1}{4}$ от площади всего прямоугольника.

Рассматриваемый в задаче треугольник является одним из этих четырех треугольников. Его площадь ($S_{треугольника}$) можно вычислить и напрямую. Основанием этого треугольника является одна из сторон прямоугольника (например, сторона $a$), а высота, проведенная к этому основанию из точки пересечения диагоналей, равна половине другой стороны ($\frac{b}{2}$).

Площадь треугольника равна:

$S_{треугольника} = \frac{1}{2} \cdot \text{основание} \cdot \text{высота} = \frac{1}{2} \cdot a \cdot \frac{b}{2} = \frac{ab}{4}$

Вероятность того, что случайно выбранная точка принадлежит этому треугольнику, равна отношению площади треугольника к площади прямоугольника:

$P = \frac{S_{треугольника}}{S_{прямоугольника}} = \frac{\frac{ab}{4}}{ab} = \frac{1}{4}$

Ответ: $\frac{1}{4}$