Номер 187, страница 62, часть 2 - гдз по алгебре 7-9 класс учебник Высоцкий, Ященко

187 Внутри треугольника $ABC$ случайным образом выбирается точка. Найдите вероятность того, что эта точка попала в треугольник $ABM$, где $AM$ — медиана треугольника $ABC$.

Данная задача относится к геометрической вероятности. Вероятность того, что случайно выбранная точка внутри некоторой фигуры попадет в ее часть, равна отношению площади этой части к площади всей фигуры.

Пусть $S_{ABC}$ — площадь треугольника $ABC$, а $S_{ABM}$ — площадь треугольника $ABM$. Тогда искомая вероятность $P$ вычисляется по формуле:
$P = \frac{S_{ABM}}{S_{ABC}}$

По условию, отрезок $AM$ является медианой треугольника $ABC$. По определению, медиана соединяет вершину треугольника с серединой противоположной стороны. Следовательно, точка $M$ — это середина стороны $BC$, а значит, $BM = MC = \frac{1}{2}BC$.

Рассмотрим треугольники $ABM$ и $ABC$. Проведем высоту $h$ из вершины $A$ к стороне $BC$. Эта высота будет общей для обоих треугольников.

Площадь треугольника $ABC$ находится по формуле:
$S_{ABC} = \frac{1}{2} \cdot BC \cdot h$

Площадь треугольника $ABM$ находится по формуле:
$S_{ABM} = \frac{1}{2} \cdot BM \cdot h$

Так как $BM = \frac{1}{2}BC$, подставим это выражение в формулу для площади треугольника $ABM$:
$S_{ABM} = \frac{1}{2} \cdot \left(\frac{1}{2}BC\right) \cdot h = \frac{1}{2} \cdot \left(\frac{1}{2} \cdot BC \cdot h\right)$
Сравнивая с формулой для площади $S_{ABC}$, получаем:
$S_{ABM} = \frac{1}{2} S_{ABC}$

Это известное свойство медианы: она делит треугольник на два равновеликих треугольника (т.е. треугольника с равными площадями).

Теперь можем найти вероятность:
$P = \frac{S_{ABM}}{S_{ABC}} = \frac{\frac{1}{2} S_{ABC}}{S_{ABC}} = \frac{1}{2} = 0,5$

Ответ: 0,5.