Номер 186, страница 58, часть 2 - гдз по алгебре 7-9 класс учебник Высоцкий, Ященко

186 В партии из 15 деталей 3 детали бракованные. Покупатель приобрёл 5 деталей. Найдите вероятность того, что среди них:

а) нет ни одной бракованной;

б) есть хотя бы одна бракованная;

в) ровно 2 бракованные детали;

г) ровно 3 бракованные детали.

Для решения задачи используем классическое определение вероятности и формулы комбинаторики. Всего в партии 15 деталей, из которых 3 бракованные, а остальные $15 - 3 = 12$ качественные. Покупатель приобретает 5 деталей.

Общее число способов выбрать 5 деталей из 15 равно числу сочетаний из 15 по 5. Это общее число всех равновозможных исходов.

$N = C_{15}^5 = \frac{15!}{5!(15-5)!} = \frac{15 \cdot 14 \cdot 13 \cdot 12 \cdot 11}{5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1} = 3 \cdot 7 \cdot 13 \cdot 1 \cdot 11 = 3003$.

а) нет ни одной бракованной;

Это событие означает, что все 5 выбранных деталей являются качественными. Число способов выбрать 5 качественных деталей из 12 имеющихся равно числу сочетаний из 12 по 5. Это будет числом благоприятных исходов.

$m_a = C_{12}^5 = \frac{12!}{5!(12-5)!} = \frac{12 \cdot 11 \cdot 10 \cdot 9 \cdot 8}{5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1} = 11 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 2 / (2) = 12 \cdot 11 \cdot 2 \cdot 3 / 3 = 792$. $m_a = C_{12}^5 = \frac{12 \cdot 11 \cdot 10 \cdot 9 \cdot 8}{120} = 792$.

Вероятность $P(a)$ того, что среди выбранных деталей нет ни одной бракованной, равна:

$P(a) = \frac{m_a}{N} = \frac{792}{3003}$.

Сократив дробь на 33 (общий делитель), получаем:

$P(a) = \frac{792 \div 33}{3003 \div 33} = \frac{24}{91}$.

Ответ: $\frac{24}{91}$

б) есть хотя бы одна бракованная;

Событие "есть хотя бы одна бракованная деталь" является противоположным событию "нет ни одной бракованной детали" (событие а). Сумма вероятностей противоположных событий равна 1.

$P(б) = 1 - P(а) = 1 - \frac{24}{91} = \frac{91 - 24}{91} = \frac{67}{91}$.

Ответ: $\frac{67}{91}$

в) ровно 2 бракованные детали;

Это событие означает, что из 5 выбранных деталей 2 являются бракованными и 3 — качественными. Число способов выбрать 2 бракованные детали из 3 равно $C_3^2$. Число способов выбрать 3 качественные детали из 12 равно $C_{12}^3$.

$C_3^2 = \frac{3!}{2!1!} = 3$.

$C_{12}^3 = \frac{12!}{3!9!} = \frac{12 \cdot 11 \cdot 10}{3 \cdot 2 \cdot 1} = 2 \cdot 11 \cdot 10 = 220$.

Число благоприятных исходов $m_в$ находим по правилу произведения:

$m_в = C_3^2 \cdot C_{12}^3 = 3 \cdot 220 = 660$.

Вероятность $P(в)$ того, что среди выбранных деталей ровно 2 бракованные:

$P(в) = \frac{m_в}{N} = \frac{660}{3003} = \frac{660 \div 33}{3003 \div 33} = \frac{20}{91}$.

Ответ: $\frac{20}{91}$

г) ровно 3 бракованные детали.

Это событие означает, что из 5 выбранных деталей 3 являются бракованными и 2 — качественными. Число способов выбрать 3 бракованные детали из 3 равно $C_3^3$. Число способов выбрать 2 качественные детали из 12 равно $C_{12}^2$.

$C_3^3 = \frac{3!}{3!0!} = 1$.

$C_{12}^2 = \frac{12!}{2!10!} = \frac{12 \cdot 11}{2 \cdot 1} = 66$.

Число благоприятных исходов $m_г$ равно:

$m_г = C_3^3 \cdot C_{12}^2 = 1 \cdot 66 = 66$.

Вероятность $P(г)$ того, что среди выбранных деталей ровно 3 бракованные:

$P(г) = \frac{m_г}{N} = \frac{66}{3003} = \frac{66 \div 33}{3003 \div 33} = \frac{2}{91}$.

Ответ: $\frac{2}{91}$