Страница 57, часть 2 - гдз по алгебре 7-9 класс учебник часть 1, 2 Высоцкий, Ященко

165 Найдите:

а) $C_4^3$;

б) $C_5^2$;

в) $C_7^5$;

г)* $C_{11}^3$;

д)* $C_{12}^6$;

е)* $C_{12}^8$.

Число сочетаний из $n$ по $k$ ($C_n^k$) — это количество способов выбрать $k$ элементов из множества, содержащего $n$ различных элементов, без учета порядка. Оно вычисляется по формуле:

$C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}$

Также для упрощения расчетов полезно свойство $C_n^k = C_n^{n-k}$.

Для нахождения $C_4^3$ воспользуемся свойством $C_n^k = C_n^{n-k}$:

$C_4^3 = C_4^{4-3} = C_4^1 = \frac{4!}{1!(4-1)!} = \frac{4!}{1! \cdot 3!} = \frac{3! \cdot 4}{1 \cdot 3!} = 4$.

Ответ: 4

Вычислим $C_5^2$ по формуле:

$C_5^2 = \frac{5!}{2!(5-2)!} = \frac{5!}{2! \cdot 3!} = \frac{3! \cdot 4 \cdot 5}{2 \cdot 1 \cdot 3!} = \frac{4 \cdot 5}{2} = 10$.

Ответ: 10

Для нахождения $C_7^5$ воспользуемся свойством $C_n^k = C_n^{n-k}$:

$C_7^5 = C_7^{7-5} = C_7^2 = \frac{7!}{2!(7-2)!} = \frac{7!}{2! \cdot 5!} = \frac{5! \cdot 6 \cdot 7}{2 \cdot 1 \cdot 5!} = \frac{6 \cdot 7}{2} = 21$.

Ответ: 21

Вычислим $C_{11}^3$ по формуле:

$C_{11}^3 = \frac{11!}{3!(11-3)!} = \frac{11!}{3! \cdot 8!} = \frac{8! \cdot 9 \cdot 10 \cdot 11}{3 \cdot 2 \cdot 1 \cdot 8!} = \frac{9 \cdot 10 \cdot 11}{6} = 3 \cdot 5 \cdot 11 = 165$.

Ответ: 165

Вычислим $C_{12}^6$ по формуле:

$C_{12}^6 = \frac{12!}{6!(12-6)!} = \frac{12 \cdot 11 \cdot 10 \cdot 9 \cdot 8 \cdot 7}{6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1} = (12 \cdot 11 \cdot 10 \cdot 9 \cdot 8 \cdot 7) / 720$.

Сократим множители: $\frac{12}{6 \cdot 2} \cdot \frac{10}{5} \cdot \frac{9}{3} \cdot \frac{8}{4} \cdot 11 \cdot 7 = 1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 11 \cdot 7 = 924$.

Ответ: 924

Для нахождения $C_{12}^8$ воспользуемся свойством $C_n^k = C_n^{n-k}$:

$C_{12}^8 = C_{12}^{12-8} = C_{12}^4 = \frac{12!}{4!(12-4)!} = \frac{12!}{4! \cdot 8!} = \frac{8! \cdot 9 \cdot 10 \cdot 11 \cdot 12}{4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1 \cdot 8!} = \frac{9 \cdot 10 \cdot 11 \cdot 12}{24}$.

Сократим множители: $9 \cdot \frac{10}{2} \cdot 11 \cdot \frac{12}{4 \cdot 3} = 9 \cdot 5 \cdot 11 \cdot 1 = 495$.

Ответ: 495

166 Сравните числа:

а) $C_5^2$ и $C_5^3$;

б) $C_7^2$ и $C_7^5$;

в)* $C_{21}^1$ и $C_{21}^{20}$;

г)* $C_{12}^5$ и $C_{12}^7$.

Для сравнения чисел, представляющих собой число сочетаний $C_n^k$, воспользуемся основным свойством симметричности биномиальных коэффициентов: $C_n^k = C_n^{n-k}$. Это свойство следует напрямую из формулы $C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}$ и означает, что количество способов выбрать $k$ элементов из $n$ равно количеству способов не выбрать $k$ элементов (то есть выбрать остальные $n-k$ элементов).

а) Сравнить $C_5^2$ и $C_5^3$.

Используем свойство симметричности для $C_5^3$. В этом случае $n=5$ и $k=3$. Тогда $n-k = 5-3=2$.

Следовательно, $C_5^3 = C_5^{5-3} = C_5^2$.

Таким образом, числа равны. Для проверки можно их вычислить:

$C_5^2 = \frac{5!}{2!(5-2)!} = \frac{5 \cdot 4}{2 \cdot 1} = 10$.

$C_5^3 = \frac{5!}{3!(5-3)!} = \frac{5 \cdot 4 \cdot 3}{3 \cdot 2 \cdot 1} = 10$.

Ответ: $C_5^2 = C_5^3$.

б) Сравнить $C_7^2$ и $C_7^5$.

Применим свойство симметричности для $C_7^5$. Здесь $n=7$ и $k=5$. Тогда $n-k = 7-5=2$.

Следовательно, $C_7^5 = C_7^{7-5} = C_7^2$.

Числа равны. Проверим вычислением:

$C_7^2 = \frac{7!}{2!(7-2)!} = \frac{7 \cdot 6}{2 \cdot 1} = 21$.

$C_7^5 = \frac{7!}{5!(7-5)!} = \frac{7 \cdot 6}{2 \cdot 1} = 21$.

Ответ: $C_7^2 = C_7^5$.

в)* Сравнить $C_{21}^1$ и $C_{21}^{20}$.

Применим свойство симметричности для $C_{21}^{20}$. Здесь $n=21$ и $k=20$. Тогда $n-k = 21-20=1$.

Следовательно, $C_{21}^{20} = C_{21}^{21-20} = C_{21}^1$.

Числа равны. Проверим вычислением:

$C_{21}^1 = \frac{21!}{1!(21-1)!} = \frac{21}{1} = 21$.

$C_{21}^{20} = \frac{21!}{20!(21-20)!} = \frac{21}{1} = 21$.

Ответ: $C_{21}^1 = C_{21}^{20}$.

г)* Сравнить $C_{12}^5$ и $C_{12}^7$.

Применим свойство симметричности для $C_{12}^7$. Здесь $n=12$ и $k=7$. Тогда $n-k = 12-7=5$.

Следовательно, $C_{12}^7 = C_{12}^{12-7} = C_{12}^5$.

Числа равны. Проверим вычислением:

$C_{12}^5 = \frac{12!}{5!(12-5)!} = \frac{12 \cdot 11 \cdot 10 \cdot 9 \cdot 8}{5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1} = 792$.

$C_{12}^7 = \frac{12!}{7!(12-7)!} = \frac{12 \cdot 11 \cdot 10 \cdot 9 \cdot 8}{5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1} = 792$.

Ответ: $C_{12}^5 = C_{12}^7$.

167 Найдите значение:

а) $C_4^0$;

б) $C_5^5$;

в) $C_{23}^0$;

г) $C_{34}^{34}$;

д) $C_{302}^0$;

е) $C_{101}^{101}$.

Для нахождения значений данных выражений используется формула числа сочетаний из $n$ по $k$:

$C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}$

Также можно воспользоваться двумя основными свойствами числа сочетаний:

1. Число сочетаний из $n$ элементов по 0 всегда равно 1, так как существует только один способ ничего не выбрать. Формально: $C_n^0 = 1$.

2. Число сочетаний из $n$ элементов по $n$ всегда равно 1, так как существует только один способ выбрать все элементы. Формально: $C_n^n = 1$.

Рассмотрим каждый случай отдельно.

а) $C_4^0$

Это случай выбора 0 элементов из 4. Согласно свойству $C_n^0 = 1$, значение равно 1.

Проверим по формуле, где $n=4$ и $k=0$, и помня, что $0! = 1$:

$C_4^0 = \frac{4!}{0!(4-0)!} = \frac{4!}{1 \cdot 4!} = 1$.

Ответ: 1

б) $C_5^5$

Это случай выбора 5 элементов из 5. Согласно свойству $C_n^n = 1$, значение равно 1.

Проверим по формуле, где $n=5$ и $k=5$:

$C_5^5 = \frac{5!}{5!(5-5)!} = \frac{5!}{5! \cdot 0!} = \frac{5!}{5! \cdot 1} = 1$.

Ответ: 1

в) $C_{23}^0$

Это случай выбора 0 элементов из 23. Согласно свойству $C_n^0 = 1$, значение равно 1.

Проверим по формуле, где $n=23$ и $k=0$:

$C_{23}^0 = \frac{23!}{0!(23-0)!} = \frac{23!}{1 \cdot 23!} = 1$.

Ответ: 1

г) $C_{34}^{34}$

Это случай выбора 34 элементов из 34. Согласно свойству $C_n^n = 1$, значение равно 1.

Проверим по формуле, где $n=34$ и $k=34$:

$C_{34}^{34} = \frac{34!}{34!(34-34)!} = \frac{34!}{34! \cdot 0!} = \frac{34!}{34! \cdot 1} = 1$.

Ответ: 1

д) $C_{302}^0$

Это случай выбора 0 элементов из 302. Согласно свойству $C_n^0 = 1$, значение равно 1.

Проверим по формуле, где $n=302$ и $k=0$:

$C_{302}^0 = \frac{302!}{0!(302-0)!} = \frac{302!}{1 \cdot 302!} = 1$.

Ответ: 1

е) $C_{101}^{101}$

Это случай выбора 101 элемента из 101. Согласно свойству $C_n^n = 1$, значение равно 1.

Проверим по формуле, где $n=101$ и $k=101$:

$C_{101}^{101} = \frac{101!}{101!(101-101)!} = \frac{101!}{101! \cdot 0!} = \frac{101!}{101! \cdot 1} = 1$.

Ответ: 1

168 Сколько существует способов выбрать один объект из совокупности:

а) 50 предметов;

б) 67 предметов?

а) Задача состоит в том, чтобы найти количество способов выбрать 1 предмет из 50. По основному правилу комбинаторики, если у нас есть $n$ различных предметов, то выбрать один из них можно ровно $n$ способами. В данном случае у нас 50 предметов, следовательно, существует 50 способов сделать выбор.
Это также можно формально рассчитать с помощью формулы числа сочетаний $C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}$, где $n$ — общее количество элементов, а $k$ — количество выбираемых элементов.
Для данного случая $n=50$ и $k=1$:
$C_{50}^1 = \frac{50!}{1!(50-1)!} = \frac{50!}{1! \cdot 49!} = \frac{50 \cdot 49!}{49!} = 50$.
Таким образом, существует 50 способов.
Ответ: 50

б) Аналогично, необходимо найти количество способов выбрать 1 предмет из 67. Так как всего 67 различных предметов, то и способов выбрать один из них — 67.
Используя формулу числа сочетаний при $n=67$ и $k=1$:
$C_{67}^1 = \frac{67!}{1!(67-1)!} = \frac{67!}{1! \cdot 66!} = \frac{67 \cdot 66!}{66!} = 67$.
Следовательно, существует 67 способов.
Ответ: 67

169 Сколькими способами можно выбрать:

a) 49 предметов из 50;

$ \binom{50}{49} $

б) 64 предмета из 65?

$ \binom{65}{64} $

а) 49 предметов из 50;

Задача сводится к нахождению числа сочетаний из $n$ элементов по $k$, поскольку порядок выбора предметов не важен. Формула для числа сочетаний имеет вид:

$C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}$

В данном случае общее число предметов $n = 50$, а число выбираемых предметов $k = 49$. Подставим эти значения в формулу:

$C_{50}^{49} = \frac{50!}{49!(50-49)!} = \frac{50!}{49! \cdot 1!}$

Зная, что $50! = 50 \cdot 49!$, мы можем сократить дробь:

$C_{50}^{49} = \frac{50 \cdot 49!}{49! \cdot 1} = 50$

Также можно подойти к задаче с другой стороны. Выбрать 49 предметов из 50 — это то же самое, что выбрать 1 предмет, который мы не будем брать. Существует ровно 50 способов выбрать один предмет из 50. Это соответствует свойству симметрии биномиальных коэффициентов: $C_n^k = C_n^{n-k}$.

$C_{50}^{49} = C_{50}^{50-49} = C_{50}^{1} = \frac{50!}{1!(50-1)!} = \frac{50!}{1 \cdot 49!} = 50$

Ответ: 50

б) 64 предмета из 65?

Аналогично предыдущему пункту, мы используем ту же формулу для числа сочетаний, но с другими значениями. Здесь общее число предметов $n = 65$, а число выбираемых предметов $k = 64$.

$C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}$

Подставим значения $n=65$ и $k=64$:

$C_{65}^{64} = \frac{65!}{64!(65-64)!} = \frac{65!}{64! \cdot 1!}$

Так как $65! = 65 \cdot 64!$, получаем:

$C_{65}^{64} = \frac{65 \cdot 64!}{64! \cdot 1} = 65$

Как и в пункте а), можно заметить, что выбор 64 предметов из 65 эквивалентен выбору 1 предмета, который останется. Сделать это можно 65 способами.

$C_{65}^{64} = C_{65}^{65-64} = C_{65}^{1} = \frac{65!}{1!(65-1)!} = \frac{65!}{1 \cdot 64!} = 65$

Ответ: 65

170 Сколькими способами можно выбрать:

а) 7 предметов из 9;

б) 2 предмета из 6;

в)* 4 предмета из 12;

г)* 5 предметов из 13?

Для решения всех пунктов задачи используется формула числа сочетаний, так как порядок выбора предметов не имеет значения. Формула для нахождения числа сочетаний $k$ элементов из множества $n$ элементов выглядит следующим образом:

$C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}$

где $n!$ (n-факториал) – это произведение всех натуральных чисел от 1 до $n$.

а)

Требуется выбрать 7 предметов из 9. Здесь $n=9$, $k=7$.

Число способов равно числу сочетаний из 9 по 7: $C_9^7 = \frac{9!}{7!(9-7)!} = \frac{9!}{7! \cdot 2!} = \frac{9 \cdot 8 \cdot 7!}{7! \cdot 2 \cdot 1} = \frac{9 \cdot 8}{2} = 36$.

Можно также воспользоваться свойством сочетаний $C_n^k = C_n^{n-k}$. Выбрать 7 предметов из 9 — это то же самое, что выбрать 2 предмета, которые не будут взяты: $C_9^7 = C_9^{9-7} = C_9^2 = \frac{9!}{2!(9-2)!} = \frac{9!}{2! \cdot 7!} = \frac{9 \cdot 8}{2} = 36$.

Ответ: 36.

б)

Требуется выбрать 2 предмета из 6. Здесь $n=6$, $k=2$.

Число способов равно числу сочетаний из 6 по 2: $C_6^2 = \frac{6!}{2!(6-2)!} = \frac{6!}{2! \cdot 4!} = \frac{6 \cdot 5 \cdot 4!}{2 \cdot 1 \cdot 4!} = \frac{6 \cdot 5}{2} = 15$.

Ответ: 15.

в)

Требуется выбрать 4 предмета из 12. Здесь $n=12$, $k=4$.

Число способов равно числу сочетаний из 12 по 4: $C_{12}^4 = \frac{12!}{4!(12-4)!} = \frac{12!}{4! \cdot 8!} = \frac{12 \cdot 11 \cdot 10 \cdot 9 \cdot 8!}{4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1 \cdot 8!} = \frac{12 \cdot 11 \cdot 10 \cdot 9}{24}$.

Упростим выражение: $C_{12}^4 = \frac{12}{4 \cdot 3} \cdot 11 \cdot \frac{10}{2} \cdot 9 = 1 \cdot 11 \cdot 5 \cdot 9 = 495$.

Ответ: 495.

г)

Требуется выбрать 5 предметов из 13. Здесь $n=13$, $k=5$.

Число способов равно числу сочетаний из 13 по 5: $C_{13}^5 = \frac{13!}{5!(13-5)!} = \frac{13!}{5! \cdot 8!} = \frac{13 \cdot 12 \cdot 11 \cdot 10 \cdot 9 \cdot 8!}{5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1 \cdot 8!} = \frac{13 \cdot 12 \cdot 11 \cdot 10 \cdot 9}{120}$.

Упростим выражение: $C_{13}^5 = 13 \cdot \frac{12}{4 \cdot 3} \cdot 11 \cdot \frac{10}{5 \cdot 2} \cdot 9 = 13 \cdot 1 \cdot 11 \cdot 1 \cdot 9 = 13 \cdot 99 = 1287$.

Ответ: 1287.

171 Сколькими способами можно отобрать стартовую шестёрку игроков в волей-больном матче, если всего в команде:

а) 10 игроков;

б)* 14 игроков?

а) 10 игроков;

Для решения данной задачи необходимо определить количество способов выбрать 6 игроков из 10 без учёта порядка. Это классическая задача на нахождение числа сочетаний. Мы ищем число сочетаний из $n=10$ элементов по $k=6$.

Формула для расчёта числа сочетаний:$C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}$

Подставляем в формулу наши значения:$C_{10}^6 = \frac{10!}{6!(10-6)!} = \frac{10!}{6!4!}$

Для упрощения расчётов можно воспользоваться свойством $C_n^k = C_n^{n-k}$:$C_{10}^6 = C_{10}^{10-6} = C_{10}^4$

Теперь вычислим значение:$C_{10}^4 = \frac{10 \times 9 \times 8 \times 7}{4 \times 3 \times 2 \times 1}$

Сократим дробь: $8$ в числителе сокращается с $4 \times 2$ в знаменателе, а $9$ делится на $3$.$C_{10}^4 = 10 \times 3 \times 7 = 210$

Ответ: 210 способов.

б)* 14 игроков?

В этом случае условия аналогичны, но общее число игроков составляет $n=14$, а выбрать нужно по-прежнему $k=6$. Снова используем формулу для числа сочетаний.

$C_{14}^6 = \frac{14!}{6!(14-6)!} = \frac{14!}{6!8!}$

Распишем факториалы для вычисления:$C_{14}^6 = \frac{14 \times 13 \times 12 \times 11 \times 10 \times 9}{6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1}$

Произведем сокращения для упрощения расчёта:

• $12$ в числителе сокращаем с $6 \times 2$ в знаменателе.
• $10$ в числителе делим на $5$ в знаменателе, получаем $2$.
• $9$ в числителе делим на $3$ в знаменателе, получаем $3$.

В результате получаем выражение:$\frac{14 \times 13 \times 11 \times 2 \times 3}{4}$

Продолжим сокращение: $14 \times 2 = 28$, и $28$ делится на $4$, что даёт $7$.В итоге остаётся:$7 \times 13 \times 11 \times 3$

Выполним умножение:$7 \times 13 = 91$$91 \times 11 = 1001$$1001 \times 3 = 3003$

Ответ: 3003 способа.

172 Предприниматель хочет отправить рекламные объявления в 3 газеты. Сколькими способами можно выбрать эти 3 газеты из:

а) 6 газет;

б) 7 газет;

в) 10 газет?

Для решения этой задачи необходимо найти число сочетаний, поскольку порядок выбора газет не имеет значения. Мы ищем, сколькими способами можно выбрать группу из 3 газет из имеющегося общего количества. Формула для числа сочетаний из $n$ по $k$ выглядит так: $C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}$.

Во всех подпунктах задачи нам нужно выбрать $k=3$ газеты.

а) Нужно выбрать 3 газеты из 6. Здесь общее число газет $n=6$, а количество выбираемых газет $k=3$.
Применяем формулу числа сочетаний:
$C_6^3 = \frac{6!}{3!(6-3)!} = \frac{6!}{3!3!} = \frac{6 \times 5 \times 4}{3 \times 2 \times 1} = 20$.
Таким образом, существует 20 способов выбрать 3 газеты из 6.
Ответ: 20.

б) Нужно выбрать 3 газеты из 7. Здесь общее число газет $n=7$, а количество выбираемых газет $k=3$.
Применяем формулу числа сочетаний:
$C_7^3 = \frac{7!}{3!(7-3)!} = \frac{7!}{3!4!} = \frac{7 \times 6 \times 5}{3 \times 2 \times 1} = 35$.
Таким образом, существует 35 способов выбрать 3 газеты из 7.
Ответ: 35.

в) Нужно выбрать 3 газеты из 10. Здесь общее число газет $n=10$, а количество выбираемых газет $k=3$.
Применяем формулу числа сочетаний:
$C_{10}^3 = \frac{10!}{3!(10-3)!} = \frac{10!}{3!7!} = \frac{10 \times 9 \times 8}{3 \times 2 \times 1} = 10 \times 3 \times 4 = 120$.
Таким образом, существует 120 способов выбрать 3 газеты из 10.
Ответ: 120.

173 Сколько существует способов составить двоичную последовательность из:

а) 5 единиц и 4 нулей;

б) 3 единиц и 7 нулей;

в) 2 нулей и 8 единиц;

г) 5 нулей и 5 единиц?

Данная задача решается с помощью формулы для числа сочетаний, так как нам нужно выбрать позиции для одного типа символов (например, единиц) в последовательности, а остальные позиции будут автоматически заняты другим типом символов (нулями). Формула для числа сочетаний из $n$ по $k$:

$C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}$

где $n$ — общая длина последовательности, а $k$ — количество элементов одного типа (например, единиц).

а) 5 единиц и 4 нулей

Общая длина последовательности $n = 5 + 4 = 9$. Нам нужно выбрать 5 позиций для единиц из 9 возможных. Рассчитаем число сочетаний из 9 по 5:

$C_9^5 = \frac{9!}{5!(9-5)!} = \frac{9!}{5!4!} = \frac{9 \times 8 \times 7 \times 6}{4 \times 3 \times 2 \times 1} = 9 \times 2 \times 7 = 126$.

Ответ: 126

б) 3 единиц и 7 нулей

Общая длина последовательности $n = 3 + 7 = 10$. Нам нужно выбрать 3 позиции для единиц из 10 возможных. Рассчитаем число сочетаний из 10 по 3:

$C_{10}^3 = \frac{10!}{3!(10-3)!} = \frac{10!}{3!7!} = \frac{10 \times 9 \times 8}{3 \times 2 \times 1} = 10 \times 3 \times 4 = 120$.

Ответ: 120

в) 2 нулей и 8 единиц

Общая длина последовательности $n = 2 + 8 = 10$. Проще выбрать 2 позиции для нулей из 10 возможных. Рассчитаем число сочетаний из 10 по 2:

$C_{10}^2 = \frac{10!}{2!(10-2)!} = \frac{10!}{2!8!} = \frac{10 \times 9}{2 \times 1} = 45$.

Ответ: 45

г) 5 нулей и 5 единиц

Общая длина последовательности $n = 5 + 5 = 10$. Нам нужно выбрать 5 позиций для единиц (или нулей) из 10 возможных. Рассчитаем число сочетаний из 10 по 5:

$C_{10}^5 = \frac{10!}{5!(10-5)!} = \frac{10!}{5!5!} = \frac{10 \times 9 \times 8 \times 7 \times 6}{5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1} = 2 \times 9 \times 2 \times 7 = 252$.

Ответ: 252

174 Сколько существует последовательностей из шести букв, в которых:

а) три буквы У, остальные буквы Н;

б) пять букв У, остальные буквы Н?

а)

Нам нужно найти количество уникальных последовательностей из шести букв, где три буквы — 'У', а остальные $6 - 3 = 3$ буквы — 'Н'. Эта задача сводится к нахождению числа способов разместить 3 одинаковые буквы 'У' на 6 доступных позициях. Как только мы выберем позиции для букв 'У', оставшиеся позиции будут автоматически заняты буквами 'Н'. Это классическая задача на сочетания. Количество способов выбрать $k$ элементов из множества $n$ элементов вычисляется по формуле числа сочетаний:

$C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}$

В данном случае, общее количество позиций $n=6$, а количество букв 'У', которые нужно разместить, $k=3$.

Подставляем значения в формулу:

$C_6^3 = \frac{6!}{3!(6-3)!} = \frac{6!}{3!3!} = \frac{6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1}{(3 \times 2 \times 1) \times (3 \times 2 \times 1)} = \frac{720}{6 \times 6} = \frac{720}{36} = 20$.

Следовательно, существует 20 таких последовательностей.

Ответ: 20

б)

В этом случае нам нужно найти количество последовательностей из шести букв, где пять букв — 'У', а остальные $6 - 5 = 1$ буква — 'Н'. Задача аналогична предыдущей: нужно выбрать 5 позиций для букв 'У' из 6 возможных.

Используем ту же формулу числа сочетаний, где $n=6$ и $k=5$:

$C_6^5 = \frac{6!}{5!(6-5)!} = \frac{6!}{5!1!} = \frac{6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1}{(5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1) \times 1} = \frac{6}{1} = 6$.

Также можно рассуждать иначе: нам нужно разместить всего одну букву 'Н' на одной из шести позиций. Существует ровно 6 способов это сделать. Все остальные позиции будут заняты буквами 'У'. Например: НУУУУУ, УНУУУУ, УУНУУУ и так далее.

Ответ: 6

а) три буквы У, остальные буквы Н;

б) пять букв У, остальные буквы Н?

175 Муха ползёт по проволочной решётке из точки А в точку В (рис. 52), двигаясь всё время вправо или вниз. Сколько различных маршрутов может выбрать муха?

Указание. В случае а), как бы ни ползла муха, она должна сделать всего 6 шагов: три шага вправо (П) и три шага вниз (Н). Маршрут мухи можно записать в виде последовательности шести букв. Например, ПНПННП.

Таким образом, вопрос сводится к тому, сколько существует способов расставить три буквы П в последовательности шести букв.

Рисунок 52

а)

Для того чтобы муха добралась из точки А в точку В на решётке размером 3x3, ей необходимо совершить определенное количество шагов вправо и вниз. Поскольку решётка имеет размер 3 на 3 клетки, муха должна сделать 3 шага вправо (обозначим как П) и 3 шага вниз (обозначим как Н).

Общее количество шагов в любом маршруте будет постоянным и равным $3 + 3 = 6$. Каждый уникальный маршрут представляет собой уникальную последовательность из 3 букв П и 3 букв Н. Например, последовательность ПППННН означает, что муха сначала сделала 3 шага вправо, а затем 3 шага вниз. Последовательность ПНПНПН означает чередование шагов вправо и вниз.

Таким образом, задача сводится к нахождению числа различных перестановок с повторениями. Мы должны найти, сколькими способами можно расположить 3 буквы П в последовательности из 6 шагов. Остальные 3 места автоматически займут буквы Н. Это можно вычислить с помощью формулы для числа сочетаний:

$C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}$

Где $n$ – общее количество шагов, а $k$ – количество шагов в одном из направлений (например, вправо). В нашем случае $n=6$ и $k=3$.

$C_6^3 = \frac{6!}{3!(6-3)!} = \frac{6!}{3!3!} = \frac{6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1}{(3 \times 2 \times 1)(3 \times 2 \times 1)} = \frac{720}{6 \times 6} = \frac{720}{36} = 20$

Следовательно, существует 20 различных маршрутов.

Ответ: 20

б)

В этом случае муха ползёт по решётке размером 5x4 (5 клеток в ширину и 4 в высоту). Чтобы добраться из точки А (верхний левый угол) в точку В (нижний правый угол), мухе нужно сделать 5 шагов вправо (П) и 4 шага вниз (Н).

Общее количество шагов составляет $5 + 4 = 9$. Задача, как и в предыдущем пункте, сводится к нахождению количества уникальных последовательностей, состоящих из 5 букв П и 4 букв Н.

Используем ту же формулу для числа сочетаний, где общее число шагов $n=9$, а число шагов вправо $k=5$ (или число шагов вниз, равное 4, результат будет тем же, так как $C_n^k = C_n^{n-k}$).

$C_9^5 = \frac{9!}{5!(9-5)!} = \frac{9!}{5!4!}$

Вычислим это значение:

$C_9^5 = \frac{9 \times 8 \times 7 \times 6 \times 5!}{5! \times (4 \times 3 \times 2 \times 1)} = \frac{9 \times 8 \times 7 \times 6}{4 \times 3 \times 2 \times 1} = \frac{9 \times 8 \times 7 \times 6}{24}$

Сократим дробь:

$C_9^5 = \frac{9 \times (2 \times \cancel{4}) \times 7 \times 6}{\cancel{4} \times 3 \times 2 \times 1} = \frac{9 \times 2 \times 7 \times 6}{3 \times 2 \times 1} = 3 \times 7 \times 6 = 126$

Следовательно, существует 126 различных маршрутов.

Ответ: 126

1 Что такое число сочетаний?

Число сочетаний в комбинаторике — это количество способов выбрать определенное число элементов из большего множества, при котором порядок выбора этих элементов не имеет значения. Другими словами, это число неупорядоченных наборов.

Например, если мы выбираем двух человек из группы {Алиса, Борис, Виктор}, то выбор {Алиса, Борис} — это то же самое, что и выбор {Борис, Алиса}. Это одно сочетание.

Число сочетаний из $n$ элементов по $k$ обозначается как $C_n^k$ или $\binom{n}{k}$ и вычисляется по следующей формуле:

$C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}$

где:

• $n$ — общее количество элементов в исходном множестве.
• $k$ — количество элементов, которые необходимо выбрать из множества ($0 \le k \le n$).
• $n!$ (читается как «эн факториал») — произведение всех целых положительных чисел от 1 до $n$. Например, $4! = 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 24$. Также по определению принимается, что $0! = 1$.

Пример:

Представим, что у вас есть 5 разных фруктов (яблоко, банан, апельсин, груша, киви), и вы хотите выбрать 3 из них для фруктового салата. Порядок, в котором вы кладете фрукты в миску, не важен. Сколько различных салатов можно приготовить?

Здесь $n=5$ (всего фруктов), а $k=3$ (нужно выбрать).

Применим формулу:

$C_5^3 = \frac{5!}{3!(5-3)!} = \frac{5!}{3!2!} = \frac{5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1}{(3 \times 2 \times 1)(2 \times 1)} = \frac{120}{6 \times 2} = \frac{120}{12} = 10$

Таким образом, существует 10 различных способов выбрать 3 фрукта из 5.

Ответ: Число сочетаний — это количество комбинаций (неупорядоченных наборов) по $k$ элементов, которые можно выбрать из множества, содержащего $n$ различных элементов.

2 Как обозначить число сочетаний из 6 по 5?

В комбинаторике число сочетаний (выборка, в которой не важен порядок элементов) из $n$ элементов по $k$ обозначается специальным символом.

Общее обозначение для числа сочетаний из $n$ по $k$ выглядит так: $C_n^k$ или $\binom{n}{k}$.

В данном вопросе нам нужно найти число сочетаний из 6 элементов по 5. Это значит, что:

• Общее количество элементов в множестве $n = 6$.
• Количество элементов, которые нужно выбрать, $k = 5$.

Подставив эти значения в стандартную форму записи, мы получаем обозначение для числа сочетаний из 6 по 5.

Ответ: $C_6^5$ или $\binom{6}{5}$.