Номер 1, страница 57, часть 2 - гдз по алгебре 7-9 класс учебник Высоцкий, Ященко

1 Что такое число сочетаний?

Число сочетаний в комбинаторике — это количество способов выбрать определенное число элементов из большего множества, при котором порядок выбора этих элементов не имеет значения. Другими словами, это число неупорядоченных наборов.

Например, если мы выбираем двух человек из группы {Алиса, Борис, Виктор}, то выбор {Алиса, Борис} — это то же самое, что и выбор {Борис, Алиса}. Это одно сочетание.

Число сочетаний из $n$ элементов по $k$ обозначается как $C_n^k$ или $\binom{n}{k}$ и вычисляется по следующей формуле:

$C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}$

где:

• $n$ — общее количество элементов в исходном множестве.
• $k$ — количество элементов, которые необходимо выбрать из множества ($0 \le k \le n$).
• $n!$ (читается как «эн факториал») — произведение всех целых положительных чисел от 1 до $n$. Например, $4! = 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 24$. Также по определению принимается, что $0! = 1$.

Пример:

Представим, что у вас есть 5 разных фруктов (яблоко, банан, апельсин, груша, киви), и вы хотите выбрать 3 из них для фруктового салата. Порядок, в котором вы кладете фрукты в миску, не важен. Сколько различных салатов можно приготовить?

Здесь $n=5$ (всего фруктов), а $k=3$ (нужно выбрать).

Применим формулу:

$C_5^3 = \frac{5!}{3!(5-3)!} = \frac{5!}{3!2!} = \frac{5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1}{(3 \times 2 \times 1)(2 \times 1)} = \frac{120}{6 \times 2} = \frac{120}{12} = 10$

Таким образом, существует 10 различных способов выбрать 3 фрукта из 5.

Ответ: Число сочетаний — это количество комбинаций (неупорядоченных наборов) по $k$ элементов, которые можно выбрать из множества, содержащего $n$ различных элементов.