Номер 170, страница 57, часть 2 - гдз по алгебре 7-9 класс учебник Высоцкий, Ященко

170 Сколькими способами можно выбрать:

а) 7 предметов из 9;

б) 2 предмета из 6;

в)* 4 предмета из 12;

г)* 5 предметов из 13?

Для решения всех пунктов задачи используется формула числа сочетаний, так как порядок выбора предметов не имеет значения. Формула для нахождения числа сочетаний $k$ элементов из множества $n$ элементов выглядит следующим образом:

$C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}$

где $n!$ (n-факториал) – это произведение всех натуральных чисел от 1 до $n$.

а)

Требуется выбрать 7 предметов из 9. Здесь $n=9$, $k=7$.

Число способов равно числу сочетаний из 9 по 7: $C_9^7 = \frac{9!}{7!(9-7)!} = \frac{9!}{7! \cdot 2!} = \frac{9 \cdot 8 \cdot 7!}{7! \cdot 2 \cdot 1} = \frac{9 \cdot 8}{2} = 36$.

Можно также воспользоваться свойством сочетаний $C_n^k = C_n^{n-k}$. Выбрать 7 предметов из 9 — это то же самое, что выбрать 2 предмета, которые не будут взяты: $C_9^7 = C_9^{9-7} = C_9^2 = \frac{9!}{2!(9-2)!} = \frac{9!}{2! \cdot 7!} = \frac{9 \cdot 8}{2} = 36$.

Ответ: 36.

б)

Требуется выбрать 2 предмета из 6. Здесь $n=6$, $k=2$.

Число способов равно числу сочетаний из 6 по 2: $C_6^2 = \frac{6!}{2!(6-2)!} = \frac{6!}{2! \cdot 4!} = \frac{6 \cdot 5 \cdot 4!}{2 \cdot 1 \cdot 4!} = \frac{6 \cdot 5}{2} = 15$.

Ответ: 15.

в)

Требуется выбрать 4 предмета из 12. Здесь $n=12$, $k=4$.

Число способов равно числу сочетаний из 12 по 4: $C_{12}^4 = \frac{12!}{4!(12-4)!} = \frac{12!}{4! \cdot 8!} = \frac{12 \cdot 11 \cdot 10 \cdot 9 \cdot 8!}{4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1 \cdot 8!} = \frac{12 \cdot 11 \cdot 10 \cdot 9}{24}$.

Упростим выражение: $C_{12}^4 = \frac{12}{4 \cdot 3} \cdot 11 \cdot \frac{10}{2} \cdot 9 = 1 \cdot 11 \cdot 5 \cdot 9 = 495$.

Ответ: 495.

г)

Требуется выбрать 5 предметов из 13. Здесь $n=13$, $k=5$.

Число способов равно числу сочетаний из 13 по 5: $C_{13}^5 = \frac{13!}{5!(13-5)!} = \frac{13!}{5! \cdot 8!} = \frac{13 \cdot 12 \cdot 11 \cdot 10 \cdot 9 \cdot 8!}{5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1 \cdot 8!} = \frac{13 \cdot 12 \cdot 11 \cdot 10 \cdot 9}{120}$.

Упростим выражение: $C_{13}^5 = 13 \cdot \frac{12}{4 \cdot 3} \cdot 11 \cdot \frac{10}{5 \cdot 2} \cdot 9 = 13 \cdot 1 \cdot 11 \cdot 1 \cdot 9 = 13 \cdot 99 = 1287$.

Ответ: 1287.