Номер 173, страница 57, часть 2 - гдз по алгебре 7-9 класс учебник Высоцкий, Ященко

173 Сколько существует способов составить двоичную последовательность из:

а) 5 единиц и 4 нулей;

б) 3 единиц и 7 нулей;

в) 2 нулей и 8 единиц;

г) 5 нулей и 5 единиц?

Данная задача решается с помощью формулы для числа сочетаний, так как нам нужно выбрать позиции для одного типа символов (например, единиц) в последовательности, а остальные позиции будут автоматически заняты другим типом символов (нулями). Формула для числа сочетаний из $n$ по $k$:

$C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}$

где $n$ — общая длина последовательности, а $k$ — количество элементов одного типа (например, единиц).

а) 5 единиц и 4 нулей

Общая длина последовательности $n = 5 + 4 = 9$. Нам нужно выбрать 5 позиций для единиц из 9 возможных. Рассчитаем число сочетаний из 9 по 5:

$C_9^5 = \frac{9!}{5!(9-5)!} = \frac{9!}{5!4!} = \frac{9 \times 8 \times 7 \times 6}{4 \times 3 \times 2 \times 1} = 9 \times 2 \times 7 = 126$.

Ответ: 126

б) 3 единиц и 7 нулей

Общая длина последовательности $n = 3 + 7 = 10$. Нам нужно выбрать 3 позиции для единиц из 10 возможных. Рассчитаем число сочетаний из 10 по 3:

$C_{10}^3 = \frac{10!}{3!(10-3)!} = \frac{10!}{3!7!} = \frac{10 \times 9 \times 8}{3 \times 2 \times 1} = 10 \times 3 \times 4 = 120$.

Ответ: 120

в) 2 нулей и 8 единиц

Общая длина последовательности $n = 2 + 8 = 10$. Проще выбрать 2 позиции для нулей из 10 возможных. Рассчитаем число сочетаний из 10 по 2:

$C_{10}^2 = \frac{10!}{2!(10-2)!} = \frac{10!}{2!8!} = \frac{10 \times 9}{2 \times 1} = 45$.

Ответ: 45

г) 5 нулей и 5 единиц

Общая длина последовательности $n = 5 + 5 = 10$. Нам нужно выбрать 5 позиций для единиц (или нулей) из 10 возможных. Рассчитаем число сочетаний из 10 по 5:

$C_{10}^5 = \frac{10!}{5!(10-5)!} = \frac{10!}{5!5!} = \frac{10 \times 9 \times 8 \times 7 \times 6}{5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1} = 2 \times 9 \times 2 \times 7 = 252$.

Ответ: 252