Номер 175, страница 57, часть 2 - гдз по алгебре 7-9 класс учебник Высоцкий, Ященко

а) три буквы У, остальные буквы Н;

б) пять букв У, остальные буквы Н?

175 Муха ползёт по проволочной решётке из точки А в точку В (рис. 52), двигаясь всё время вправо или вниз. Сколько различных маршрутов может выбрать муха?

Указание. В случае а), как бы ни ползла муха, она должна сделать всего 6 шагов: три шага вправо (П) и три шага вниз (Н). Маршрут мухи можно записать в виде последовательности шести букв. Например, ПНПННП.

Таким образом, вопрос сводится к тому, сколько существует способов расставить три буквы П в последовательности шести букв.

Рисунок 52

а)

Для того чтобы муха добралась из точки А в точку В на решётке размером 3x3, ей необходимо совершить определенное количество шагов вправо и вниз. Поскольку решётка имеет размер 3 на 3 клетки, муха должна сделать 3 шага вправо (обозначим как П) и 3 шага вниз (обозначим как Н).

Общее количество шагов в любом маршруте будет постоянным и равным $3 + 3 = 6$. Каждый уникальный маршрут представляет собой уникальную последовательность из 3 букв П и 3 букв Н. Например, последовательность ПППННН означает, что муха сначала сделала 3 шага вправо, а затем 3 шага вниз. Последовательность ПНПНПН означает чередование шагов вправо и вниз.

Таким образом, задача сводится к нахождению числа различных перестановок с повторениями. Мы должны найти, сколькими способами можно расположить 3 буквы П в последовательности из 6 шагов. Остальные 3 места автоматически займут буквы Н. Это можно вычислить с помощью формулы для числа сочетаний:

$C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}$

Где $n$ – общее количество шагов, а $k$ – количество шагов в одном из направлений (например, вправо). В нашем случае $n=6$ и $k=3$.

$C_6^3 = \frac{6!}{3!(6-3)!} = \frac{6!}{3!3!} = \frac{6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1}{(3 \times 2 \times 1)(3 \times 2 \times 1)} = \frac{720}{6 \times 6} = \frac{720}{36} = 20$

Следовательно, существует 20 различных маршрутов.

Ответ: 20

б)

В этом случае муха ползёт по решётке размером 5x4 (5 клеток в ширину и 4 в высоту). Чтобы добраться из точки А (верхний левый угол) в точку В (нижний правый угол), мухе нужно сделать 5 шагов вправо (П) и 4 шага вниз (Н).

Общее количество шагов составляет $5 + 4 = 9$. Задача, как и в предыдущем пункте, сводится к нахождению количества уникальных последовательностей, состоящих из 5 букв П и 4 букв Н.

Используем ту же формулу для числа сочетаний, где общее число шагов $n=9$, а число шагов вправо $k=5$ (или число шагов вниз, равное 4, результат будет тем же, так как $C_n^k = C_n^{n-k}$).

$C_9^5 = \frac{9!}{5!(9-5)!} = \frac{9!}{5!4!}$

Вычислим это значение:

$C_9^5 = \frac{9 \times 8 \times 7 \times 6 \times 5!}{5! \times (4 \times 3 \times 2 \times 1)} = \frac{9 \times 8 \times 7 \times 6}{4 \times 3 \times 2 \times 1} = \frac{9 \times 8 \times 7 \times 6}{24}$

Сократим дробь:

$C_9^5 = \frac{9 \times (2 \times \cancel{4}) \times 7 \times 6}{\cancel{4} \times 3 \times 2 \times 1} = \frac{9 \times 2 \times 7 \times 6}{3 \times 2 \times 1} = 3 \times 7 \times 6 = 126$

Следовательно, существует 126 различных маршрутов.

Ответ: 126