Номер 164, страница 55, часть 2 - гдз по алгебре 7-9 класс учебник Высоцкий, Ященко

164 Найдите вероятность того, что среди последних четырёх цифр случайного семизначного телефонного номера есть ровно одна цифра 1 и ровно одна цифра 7.

Для решения задачи определим общее число возможных исходов и число благоприятных исходов.

1. Найдём общее число исходов.
Мы рассматриваем последние четыре цифры телефонного номера. Каждая из этих четырёх цифр может быть любой из десяти цифр от 0 до 9. Поскольку выбор каждой цифры является независимым событием, общее число всех возможных комбинаций для последних четырёх цифр ($N$) равно произведению числа вариантов для каждой позиции:$N = 10 \times 10 \times 10 \times 10 = 10^4 = 10000$.Таким образом, существует 10 000 равновероятных исходов.

2. Найдём число благоприятных исходов.
Благоприятный исход — это комбинация из четырёх цифр, в которой ровно одна цифра 1 и ровно одна цифра 7.Подсчитаем количество таких комбинаций ($M$) поэтапно:

• Шаг 1: Размещение цифр 1 и 7. Нужно выбрать две позиции для цифр 1 и 7 из четырёх доступных. Сначала выберем позицию для цифры 1. Это можно сделать 4 способами. После этого для цифры 7 останется 3 свободные позиции, то есть её можно разместить 3 способами. Общее число способов разместить цифры 1 и 7 составляет $4 \times 3 = 12$ способов. Это же число можно найти с помощью формулы для размещений (порядок важен): $A_4^2 = \frac{4!}{(4-2)!} = \frac{24}{2} = 12$.
• Шаг 2: Заполнение оставшихся позиций. Остались две незаполненные позиции. На эти места нельзя ставить ни 1, ни 7. Следовательно, для каждой из этих позиций остаётся $10 - 2 = 8$ возможных вариантов (цифры 0, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9). Поскольку цифры могут повторяться, число способов заполнить две оставшиеся позиции равно $8 \times 8 = 8^2 = 64$.

Чтобы найти общее число благоприятных исходов, перемножим результаты двух шагов:$M = 12 \times 64 = 768$.

3. Найдём вероятность.
Вероятность ($P$) события равна отношению числа благоприятных исходов к общему числу исходов:$P = \frac{M}{N} = \frac{768}{10000} = 0,0768$.

Ответ: 0,0768.