Номер 151, страница 54, часть 2 - гдз по алгебре 7-9 класс учебник Высоцкий, Ященко

151 Сколько различных последовательностей (не обязательно осмысленных) можно составить из букв слова:

а) учебник;

б) автор;

в) фонарь;

г)* бабуин?

а) учебник;

Для того чтобы найти количество различных последовательностей из букв слова, нужно определить, есть ли в слове повторяющиеся буквы. Слово "учебник" состоит из 7 букв: у, ч, е, б, н, и, к. Все буквы в этом слове уникальны.

Количество различных последовательностей (перестановок) из $n$ различных элементов вычисляется по формуле $P_n = n!$ (читается как "эн факториал").

В данном случае количество букв $n = 7$. Следовательно, число различных последовательностей равно:

$P_7 = 7! = 1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 4 \cdot 5 \cdot 6 \cdot 7 = 5040$.

Ответ: 5040

б) автор;

Слово "автор" состоит из 5 букв: а, в, т, о, р. Все буквы в этом слове также являются уникальными.

Применяем формулу для числа перестановок из $n$ различных элементов: $P_n = n!$.

Здесь количество букв $n = 5$. Таким образом, количество различных последовательностей составляет:

$P_5 = 5! = 1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 4 \cdot 5 = 120$.

Ответ: 120

в) фонарь;

Слово "фонарь" состоит из 6 букв: ф, о, н, а, р, ь. Все буквы в этом слове, включая мягкий знак, различны.

Используем ту же формулу для перестановок без повторений: $P_n = n!$.

Для слова "фонарь" количество букв $n = 6$. Число возможных последовательностей равно:

$P_6 = 6! = 1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 4 \cdot 5 \cdot 6 = 720$.

Ответ: 720

г)* бабуин?

Слово "бабуин" состоит из 6 букв: б, а, б, у, и, н. В этом слове есть повторяющиеся буквы: буква "б" встречается 2 раза.

Когда в наборе из $n$ элементов есть повторяющиеся группы, количество различных перестановок (последовательностей) вычисляется по формуле перестановок с повторениями: $P(n; n_1, n_2, \dots, n_k) = \frac{n!}{n_1! n_2! \dots n_k!}$, где $n$ — общее число элементов, а $n_1, n_2, \dots, n_k$ — количества одинаковых элементов каждого типа.

В нашем случае общее число букв $n=6$. Буква "б" повторяется $n_1=2$ раза. Остальные буквы (а, у, и, н) встречаются по одному разу, поэтому их факториалы равны $1! = 1$ и не влияют на знаменатель.

Подставляем значения в формулу:

$P(6; 2) = \frac{6!}{2!} = \frac{720}{2} = 360$.

Ответ: 360