Номер 2, страница 51, часть 2 - гдз по алгебре 7-9 класс учебник Высоцкий, Ященко

2 Сформулируйте комбинаторное правило умножения для нескольких множеств.

Комбинаторное правило умножения (основной принцип комбинаторики) для нескольких множеств формулируется следующим образом:

Пусть необходимо совершить $k$ последовательных действий. Если первое действие можно выполнить $n_1$ способами, после чего второе действие можно выполнить $n_2$ способами, затем третье действие — $n_3$ способами, и так до $k$-го действия, которое можно выполнить $n_k$ способами, то все $k$ действий вместе можно выполнить $N$ способами, где $N$ вычисляется как произведение числа способов для каждого действия.

Математически это записывается так:

$N = n_1 \cdot n_2 \cdot n_3 \cdot \dots \cdot n_k$

Если рассматривать это правило в терминах теории множеств, то оно звучит так:

Пусть даны $k$ конечных множеств $A_1, A_2, \dots, A_k$ с мощностями (количеством элементов) $|A_1| = n_1, |A_2| = n_2, \dots, |A_k| = n_k$ соответственно. Тогда количество всех возможных упорядоченных наборов (кортежей) вида $(a_1, a_2, \dots, a_k)$, где $a_1 \in A_1, a_2 \in A_2, \dots, a_k \in A_k$, равно произведению мощностей этих множеств. Это число равно мощности декартова произведения данных множеств:

$|A_1 \times A_2 \times \dots \times A_k| = |A_1| \cdot |A_2| \cdot \dots \cdot |A_k| = n_1 \cdot n_2 \cdot \dots \cdot n_k$

Пример:

Предположим, в магазине продаются:

• 5 видов рубашек (множество $A_1$, $n_1 = 5$)
• 3 вида брюк (множество $A_2$, $n_2 = 3$)
• 2 вида ботинок (множество $A_3$, $n_3 = 2$)

Нужно определить, сколько различных комплектов одежды (рубашка + брюки + ботинки) можно составить.

Выбор рубашки — это первое действие, которое можно совершить 5 способами. Выбор брюк — второе, его можно совершить 3 способами. Выбор ботинок — третье, 2 способа. Поскольку выбор элемента из одного множества не влияет на количество вариантов выбора из других, мы можем применить правило умножения.

Общее количество комплектов $N$ будет равно:

$N = n_1 \cdot n_2 \cdot n_3 = 5 \cdot 3 \cdot 2 = 30$

Таким образом, можно составить 30 различных комплектов одежды.

Ответ: Если элемент $a_1$ можно выбрать из множества $A_1$ $n_1$ способами, после этого элемент $a_2$ из множества $A_2$ $n_2$ способами, и так далее до элемента $a_k$ из множества $A_k$, который можно выбрать $n_k$ способами, то общее число способов составить упорядоченный набор $(a_1, a_2, \dots, a_k)$ равно произведению $N = n_1 \cdot n_2 \cdot \dots \cdot n_k$.