Номер 144, страница 51, часть 2 - гдз по алгебре 7-9 класс учебник Высоцкий, Ященко

144 Составляются различные последовательности из цифр 0 и 1 (двоичные последовательности). Сколько существует двоичных последовательностей длины:

а) 1;

б) 3;

в) 10;

г) $n$?

а) 1; Двоичная последовательность состоит из цифр 0 и 1. Если длина последовательности равна 1, то она состоит из одного символа. Этот символ может быть либо 0, либо 1. Таким образом, существует всего 2 возможные последовательности: (0) и (1). В общем виде, количество последовательностей длины $k$, которые можно составить из $m$ различных символов, равно $m^k$. В данном случае $m=2$ (символы 0 и 1) и $k=1$. Число последовательностей равно $2^1 = 2$.

Ответ: 2

б) 3; Для двоичной последовательности длины 3 имеется три позиции. На каждую из этих позиций можно поставить одну из двух цифр: 0 или 1. Поскольку выбор цифры для каждой позиции является независимым событием, общее количество комбинаций можно найти по правилу произведения. Количество вариантов для первой позиции — 2. Количество вариантов для второй позиции — 2. Количество вариантов для третьей позиции — 2. Общее количество последовательностей: $2 \times 2 \times 2 = 2^3 = 8$.

Ответ: 8

в) 10; Аналогично предыдущим пунктам, для последовательности длины 10 имеется 10 позиций. Для каждой из 10 позиций существует 2 варианта выбора (0 или 1). Используя правило произведения, общее количество различных последовательностей будет равно произведению числа вариантов для каждой из 10 позиций: $\underbrace{2 \times 2 \times \dots \times 2}_{10 \text{ раз}} = 2^{10}$. Вычислим это значение: $2^{10} = 1024$.

Ответ: 1024

г) n? Обобщим задачу для произвольной длины $n$. Двоичная последовательность длины $n$ имеет $n$ позиций. Для каждой из $n$ позиций есть два возможных значения: 0 или 1. Применяя правило произведения, мы должны перемножить количество вариантов для каждой из $n$ позиций. Следовательно, общее количество двоичных последовательностей длины $n$ вычисляется по формуле: $N = \underbrace{2 \times 2 \times \dots \times 2}_{n \text{ раз}} = 2^n$.

Ответ: $2^n$