Номер 104, страница 68, часть 1 - гдз по алгебре 7-9 класс учебник Высоцкий, Ященко

104 После удаления из таблицы 43 городов Балашихи, Подольска и Вереи нужно сгруппировать оставшиеся данные.

а) Сколько интервалов группировки получится, если сделать начальное значение 10 тыс. чел. при шаге группировки 10 тыс. чел.?

б) Сколько интервалов группировки получится, если сделать начальное значение 0 тыс. чел., а шаг группировки 25 тыс. чел.?

в) Какой из этих двух способов группировки вы бы предпочли?

г) Сколько городов из таблицы 43 попадает в интервал 90—120 тыс. чел.?

д) Какова частота попадания в интервал 90—120 тыс. чел.?

Для решения задачи сначала подготовим данные. Изначально в таблице было 43 города. После удаления городов Балашиха, Подольск и Верея в наборе данных осталось $43 - 3 = 40$ городов. Проанализировав данные о населении оставшихся городов (из «Таблицы 43. Города Московской области с населением более 10 тыс. человек»), находим минимальное и максимальное значения:

• Минимальное значение населения: 31,4 тыс. чел. (г. Можайск).
• Максимальное значение населения: 207,1 тыс. чел. (г. Химки).

Теперь ответим на вопросы.

а) Сколько интервалов группировки получится, если сделать начальное значение 10 тыс. чел. при шаге группировки 10 тыс. чел.?

Нам нужно покрыть диапазон значений от 31,4 до 207,1. Группировка начинается со значения 10 тыс. чел. с шагом 10 тыс. чел. Интервалы будут иметь вид [10, 20), [20, 30), и так далее. Последний интервал должен включать максимальное значение 207,1. Обозначим количество интервалов через $N$. Тогда верхняя граница последнего интервала должна быть больше максимального значения в данных:

$10 + N \cdot 10 > 207,1$

$10N > 207,1 - 10$

$10N > 197,1$

$N > 19,71$

Так как число интервалов $N$ должно быть целым, наименьшее целое число, удовлетворяющее этому неравенству, — это 20. Интервалы будут от [10, 20) до [200, 210).

Ответ: 20 интервалов.

б) Сколько интервалов группировки получится, если сделать начальное значение 0 тыс. чел., а шаг группировки 25 тыс. чел.?

Группировка начинается со значения 0 тыс. чел. с шагом 25 тыс. чел. Интервалы: [0, 25), [25, 50), и так далее. Последний интервал должен включать максимальное значение 207,1. Пусть $N$ — количество интервалов. Тогда:

$0 + N \cdot 25 > 207,1$

$25N > 207,1$

$N > \frac{207,1}{25}$

$N > 8,284$

Наименьшее целое число интервалов $N$, удовлетворяющее этому условию, равно 9. Интервалы будут от [0, 25) до [200, 225).

Ответ: 9 интервалов.

в) Какой из этих двух способов группировки вы бы предпочли?

Выбор количества интервалов зависит от объёма выборки и целей анализа. Для выборки из 40 элементов данных, согласно общим рекомендациям (например, по правилу Стёрджеса, $k \approx 1 + \log_2(n)$), оптимальное количество интервалов составляет примерно 6–7.

Первый способ (20 интервалов) является слишком детальным. Такое большое количество интервалов для 40 значений может привести к появлению множества пустых или почти пустых групп, что затруднит выявление общей тенденции в распределении данных.

Второй способ (9 интервалов) ближе к оптимальному числу. Он позволяет лучше обобщить данные и нагляднее представить их распределение, не перегружая его излишними деталями.

Ответ: Предпочтительнее второй способ группировки, так как он даёт более ясное представление о распределении данных при данном объёме выборки.

г) Сколько городов из таблицы 43 попадает в интервал 90–120 тыс. чел.?

Проанализируем данные по оставшимся 40 городам и найдём те, население которых находится в пределах от 90 до 120 тыс. человек включительно. Это следующие города:

• Долгопрудный (90,9)
• Воскресенск (93,6)
• Домодедово (96,1)
• Раменское (96,3)
• Ногинск (99,8)
• Жуковский (102,7)
• Пушкино (102,8)
• Щёлково (110,4)
• Сергиев Посад (111,1)
• Красногорск (116,7)

Всего в данный интервал попадает 10 городов.

Ответ: 10 городов.

д) Какова частота попадания в интервал 90–120 тыс. чел.?

Частота — это отношение количества элементов, попавших в интервал, к общему количеству элементов в выборке. Количество городов в интервале — 10. Общее количество городов — 40.

Частота $f$ вычисляется по формуле:

$f = \frac{\text{Количество городов в интервале}}{\text{Общее количество городов}} = \frac{10}{40} = \frac{1}{4} = 0,25$

Ответ: 0,25.