Номер 262, страница 91, часть 2 - гдз по алгебре 7-9 класс учебник Высоцкий, Ященко

262 Бинарная случайная величина $I$ равна единице с вероятностью $p$ и нулю с вероятностью $q$. Найдите дисперсию $DI$, если

а) $p = 0,8$;

б) $p = 0,1$;

в) $q = 0,1$;

г) $q = 0,4$.

Бинарная случайная величина $I$, также известная как величина, имеющая распределение Бернулли, принимает два значения: 1 с вероятностью $p$ и 0 с вероятностью $q$. Сумма вероятностей всех возможных исходов равна единице, поэтому $p+q=1$.

Дисперсия $DI$ случайной величины $I$ по определению равна математическому ожиданию квадрата отклонения случайной величины от её математического ожидания: $DI = E[(I - E[I])^2]$. Для удобства расчетов эту формулу можно преобразовать к виду: $DI = E[I^2] - (E[I])^2$.

Сначала найдем математическое ожидание (среднее значение) $E[I]$:

$E[I] = 1 \cdot P(I=1) + 0 \cdot P(I=0) = 1 \cdot p + 0 \cdot q = p$.

Теперь найдем математическое ожидание квадрата случайной величины $E[I^2]$:

$E[I^2] = 1^2 \cdot P(I=1) + 0^2 \cdot P(I=0) = 1 \cdot p + 0 \cdot q = p$.

Подставим найденные значения в формулу для дисперсии:

$DI = E[I^2] - (E[I])^2 = p - p^2 = p(1-p)$.

Поскольку $q = 1-p$, итоговая формула для дисперсии бинарной случайной величины имеет очень простой вид: $DI = p \cdot q$.

Теперь решим задачу для каждого из предложенных случаев, используя эту формулу.

а) Дано $p = 0,8$.

Находим $q$: $q = 1 - p = 1 - 0,8 = 0,2$.

Вычисляем дисперсию: $DI = p \cdot q = 0,8 \cdot 0,2 = 0,16$.

Ответ: 0,16.

б) Дано $p = 0,1$.

Находим $q$: $q = 1 - p = 1 - 0,1 = 0,9$.

Вычисляем дисперсию: $DI = p \cdot q = 0,1 \cdot 0,9 = 0,09$.

Ответ: 0,09.

в) Дано $q = 0,1$.

Находим $p$: $p = 1 - q = 1 - 0,1 = 0,9$.

Вычисляем дисперсию: $DI = p \cdot q = 0,9 \cdot 0,1 = 0,09$.

Ответ: 0,09.

г) Дано $q = 0,4$.

Находим $p$: $p = 1 - q = 1 - 0,4 = 0,6$.

Вычисляем дисперсию: $DI = p \cdot q = 0,6 \cdot 0,4 = 0,24$.

Ответ: 0,24.