Номер 1, страница 89, часть 2 - гдз по алгебре 7-9 класс учебник Высоцкий, Ященко

1 Что такое математическое ожидание случайной величины?

Математическое ожидание случайной величины — это центральная характеристика ее распределения вероятностей, представляющая собой среднее значение, которое можно ожидать в результате большого числа независимых испытаний. Иными словами, это взвешенное среднее всех возможных значений случайной величины, где весами служат их вероятности.

Математическое ожидание обозначается как $E[X]$ или $M[X]$, где $X$ — случайная величина.

Если случайная величина $X$ является дискретной и может принимать конечное или счетное множество значений $x_1, x_2, \ldots, x_n$ с соответствующими вероятностями $p_1, p_2, \ldots, p_n$, где $p_i = P(X=x_i)$ и $\sum_{i=1}^{n} p_i = 1$, то ее математическое ожидание вычисляется по формуле:

$E[X] = \sum_{i=1}^{n} x_i p_i = x_1 p_1 + x_2 p_2 + \ldots + x_n p_n$

Пример: Найдем математическое ожидание числа очков, выпадающих при однократном броске стандартного шестигранного кубика.

Случайная величина $X$ может принимать значения $\{1, 2, 3, 4, 5, 6\}$. Вероятность каждого из этих исходов одинакова и равна $p = \frac{1}{6}$.

Тогда математическое ожидание равно:

$E[X] = 1 \cdot \frac{1}{6} + 2 \cdot \frac{1}{6} + 3 \cdot \frac{1}{6} + 4 \cdot \frac{1}{6} + 5 \cdot \frac{1}{6} + 6 \cdot \frac{1}{6} = \frac{1+2+3+4+5+6}{6} = \frac{21}{6} = 3.5$

Это означает, что при многократном бросании кубика среднее значение выпавших очков будет стремиться к 3.5. Важно отметить, что само значение 3.5 не может выпасть на кубике.

Если случайная величина $X$ является непрерывной и ее распределение описывается функцией плотности вероятности $f(x)$, то ее математическое ожидание вычисляется с помощью интеграла:

$E[X] = \int_{-\infty}^{\infty} x f(x) \, dx$

Интегрирование производится по всей области возможных значений случайной величины.

Пример: Найдем математическое ожидание для случайной величины $X$, равномерно распределенной на отрезке $[a, b]$.

Функция плотности вероятности для такого распределения имеет вид:

$f(x) = \begin{cases} \frac{1}{b-a} & \text{если } x \in [a, b] \\ 0 & \text{если } x \notin [a, b] \end{cases}$

Тогда математическое ожидание равно:

$E[X] = \int_{a}^{b} x \cdot \frac{1}{b-a} \, dx = \frac{1}{b-a} \int_{a}^{b} x \, dx = \frac{1}{b-a} \left[ \frac{x^2}{2} \right]_a^b = \frac{1}{2(b-a)} (b^2 - a^2) = \frac{(b-a)(b+a)}{2(b-a)} = \frac{a+b}{2}$

Таким образом, математическое ожидание для равномерного распределения равно середине отрезка, что интуитивно понятно.

Ответ: Математическое ожидание — это мера центральной тенденции случайной величины, равная средневзвешенному значению всех ее возможных исходов, где в качестве весов используются их вероятности. Для дискретной величины это сумма произведений значений на их вероятности ($E[X] = \sum x_i p_i$), а для непрерывной — интеграл от произведения значения на функцию плотности вероятности ($E[X] = \int x f(x) \, dx$).