Номер 144, страница 92, часть 1 - гдз по алгебре 7-9 класс учебник Высоцкий, Ященко

144 Не отрывая карандаша от бумаги и не проводя одну линию дважды, нарисуйте фигуры, изображённые на рисунке 38.

а) Открытый конверт

б) Квадраты Льюиса Кэрролла

Рисунок 38

Задача заключается в том, чтобы определить, можно ли нарисовать каждую фигуру одним росчерком, не отрывая карандаша от бумаги и не проводя ни одну линию дважды. В теории графов такие пути называются эйлеровыми.

Критерий существования эйлерова пути (или цикла) связан со степенями вершин графа (точек, в которых соединяются или пересекаются линии). Степень вершины — это количество линий (рёбер), выходящих из неё.

• Если в графе нет вершин с нечётной степенью (т.е. все вершины имеют чётную степень), то можно нарисовать фигуру одним росчерком, начав в любой вершине и закончив в ней же. Такой путь называется эйлеровым циклом.
• Если в графе ровно две вершины с нечётной степенью, то фигуру можно нарисовать одним росчерком, но начинать нужно в одной из этих нечётных вершин, а заканчивать в другой. Такой путь называется эйлеровым путём.
• Если в графе больше двух вершин с нечётной степенью, то нарисовать его одним росчерком невозможно.

а) Открытый конверт

Рассмотрим фигуру «Открытый конверт» как граф. Вершинами будут углы и точки пересечения линий. У этой фигуры 5 вершин: четыре угла основания и верхняя вершина «крышки» конверта.

Подсчитаем степени (количество линий, сходящихся в каждой точке) для каждой вершины:

• Нижняя левая вершина: 3 линии (левая сторона, нижняя сторона, диагональ). Степень = 3 (нечётная).
• Нижняя правая вершина: 3 линии (правая сторона, нижняя сторона, диагональ). Степень = 3 (нечётная).
• Верхняя левая вершина: 4 линии (левая сторона, верхняя сторона, диагональ, сторона «крышки»). Степень = 4 (чётная).
• Верхняя правая вершина: 4 линии (правая сторона, верхняя сторона, диагональ, сторона «крышки»). Степень = 4 (чётная).
• Верхняя вершина «крышки»: 2 линии. Степень = 2 (чётная).

В этом графе ровно две вершины с нечётной степенью (нижние углы). Согласно критерию, эйлеров путь существует. Это означает, что фигуру можно нарисовать одним росчерком, если начать в одной из нижних вершин и закончить в другой.

Пример последовательности рисования (начиная с левого нижнего угла):

1. Из левого нижнего угла провести левую боковую сторону вверх.
2. Оттуда — левую сторону «крышки» конверта до верхней точки.
3. Из верхней точки — правую сторону «крышки» вниз до правого верхнего угла.
4. Далее — верхнюю сторону конверта влево.
5. Из левого верхнего угла провести диагональ в правый нижний угол.
6. Затем — правую боковую сторону вверх.
7. Из правого верхнего угла провести вторую диагональ в левый нижний угол.
8. Наконец, провести нижнюю сторону вправо, закончив рисунок в правом нижнем углу.

Ответ: Да, эту фигуру можно нарисовать, не отрывая карандаша.

б) Квадраты Льюиса Кэрролла

Рассмотрим эту фигуру как граф. Вершинами здесь являются углы квадратов, которые не лежат на пересечении с другими линиями, и точки пересечения сторон квадратов.

Проанализируем степени всех вершин:

• Внешние углы: У фигуры есть 8 вершин, которые являются «внешними» углами (например, левый верхний угол самого большого квадрата). В каждой такой точке сходятся 2 линии. Степень каждой из этих вершин равна 2 (чётная).
• Точки пересечения: У фигуры также есть 8 точек, где стороны квадратов пересекаются друг с другом. В каждой такой точке пересечения сходятся 4 отрезка линий. Степень каждой из этих вершин равна 4 (чётная).

Таким образом, у всех вершин в этой фигуре чётная степень (либо 2, либо 4). Согласно критерию, в этом графе существует эйлеров цикл. Это означает, что фигуру можно нарисовать одним росчерком, причём можно начать в любой точке и закончить в той же самой точке.

Ответ: Да, эту фигуру можно нарисовать, не отрывая карандаша.