Номер 160, страница 98, часть 1 - гдз по алгебре 7-9 класс учебник Высоцкий, Ященко

160 Рассмотрим утверждение «Число 72 делится на число $x$». Истинны или ложны высказывания:

а) «Это утверждение истинно для всех натуральных $x$»;

б) «Это утверждение не является истинным ни при одном натуральном $x$»;

в) «Это утверждение истинно для всех натуральных $x$, которые меньше 5»;

г) «Это утверждение ложно при некоторых натуральных $x$»;

д) «Это утверждение истинно для некоторых трёхзначных чисел $x$»?

Постройте отрицания к ложным высказываниям.

Рассмотрим утверждение $P(x)$: «Число 72 делится на число $x$». Это означает, что $x$ является натуральным делителем числа 72. Для решения задачи найдем все натуральные делители числа 72: $D(72) = \{1, 2, 3, 4, 6, 8, 9, 12, 18, 24, 36, 72\}$.

а) «Это утверждение истинно для всех натуральных $x$»

Данное высказывание означает, что число 72 должно делиться на любое натуральное число $x$. Однако это не так. Чтобы доказать ложность этого высказывания, достаточно привести один контрпример. Например, возьмем натуральное число $x=5$. Число 72 не делится на 5 без остатка ($72 \div 5 = 14$ (ост. 2)). Следовательно, высказывание ложно.

Отрицание: «Существует натуральное число $x$, на которое число 72 не делится».

Ответ: Ложно.

б) «Это утверждение не является истинным ни при одном натуральном $x$»

Данное высказывание означает, что не существует ни одного натурального числа $x$, на которое делится 72. Это неверно, так как мы нашли множество делителей числа 72. Например, при $x=1$ утверждение истинно, так как 72 делится на 1. Следовательно, высказывание ложно.

Отрицание: «Существует натуральное число $x$, на которое число 72 делится».

Ответ: Ложно.

в) «Это утверждение истинно для всех натуральных $x$, которые меньше 5»

Натуральные числа $x$, которые меньше 5, — это 1, 2, 3, 4. Проверим, является ли каждое из них делителем числа 72:

$72 \div 1 = 72$ (истинно)

$72 \div 2 = 36$ (истинно)

$72 \div 3 = 24$ (истинно)

$72 \div 4 = 18$ (истинно)

Поскольку утверждение «Число 72 делится на число $x$» верно для всех натуральных $x \in \{1, 2, 3, 4\}$, данное высказывание истинно.

Ответ: Истинно.

г) «Это утверждение ложно при некоторых натуральных $x$»

Данное высказывание означает, что существуют такие натуральные числа $x$, для которых утверждение «Число 72 делится на число $x$» будет ложным. Иными словами, существуют натуральные числа, которые не являются делителями 72. Как мы показали в пункте а), такое число существует (например, $x=5$). Следовательно, высказывание истинно.

Ответ: Истинно.

д) «Это утверждение истинно для некоторых трёхзначных чисел $x$?»

Переформулируем вопрос в утверждение: «Существует трёхзначное число $x$, на которое делится 72». Это означает, что среди делителей числа 72 есть хотя бы одно трёхзначное число. Наибольшим делителем числа 72 является само число 72, которое является двузначным. Все остальные делители еще меньше. Таким образом, у числа 72 нет трёхзначных делителей. Следовательно, высказывание ложно.

Отрицание: «Не существует трёхзначного числа $x$, на которое делится 72» (или «Число 72 не делится ни на одно трёхзначное число $x$»).

Ответ: Ложно.