Номер 47.32, страница 173 - гдз по физике 7-9 класс сборник задач Лукашик, Иванова

§ 47. Электризация тел. Закон сохранения электрического заряда. Глава 7. Электрические явления - номер 47.32, страница 173.

47.32 [н] Сколько раз надо коснуться заряженного металлического шара другим (каждый раз незаряженным) таким же шаром, чтобы уменьшить заряд в 8 раз?

Выберите правильный ответ:

1) 2 раза 2) 3 раза 3) 4 раза 4) 8 раз

Дано:

Имеется заряженный металлический шар, начальный заряд которого обозначим как $q_0$.
Для уменьшения его заряда используются другие, точно такие же (идентичные по размеру и материалу) металлические шары.
Каждый из этих шаров перед контактом является незаряженным (их заряд равен 0).
Требуется уменьшить заряд исходного шара в 8 раз, то есть до величины $\frac{q_0}{8}$.

Найти:

Необходимое количество касаний $n$.

Решение:

Основой решения является закон сохранения электрического заряда. Когда два одинаковых проводящих шара соприкасаются, их общий заряд перераспределяется между ними поровну. Это происходит потому, что после установления равновесия потенциалы шаров становятся одинаковыми, а для одинаковых шаров это означает и равенство их зарядов.

Рассмотрим процесс по шагам.

1. Первое касание

Исходный шар с зарядом $q_0$ касается первого незаряженного шара. Суммарный заряд системы из двух шаров до касания равен $Q_1 = q_0 + 0 = q_0$.
После соприкосновения этот заряд $Q_1$ распределяется поровну. Заряд на исходном шаре становится:
$q_1 = \frac{q_0}{2}$.
После первого касания заряд шара уменьшился в 2 раза.

2. Второе касание

Теперь исходный шар, заряд которого равен $q_1 = \frac{q_0}{2}$, касается второго, нового незаряженного шара. Суммарный заряд этой новой системы из двух шаров равен $Q_2 = q_1 + 0 = \frac{q_0}{2}$.
После соприкосновения этот заряд $Q_2$ снова распределяется поровну. Заряд на исходном шаре становится:
$q_2 = \frac{Q_2}{2} = \frac{q_0/2}{2} = \frac{q_0}{4}$.
После второго касания заряд шара уменьшился в 4 раза по сравнению с начальным.

3. Третье касание

Исходный шар, имеющий заряд $q_2 = \frac{q_0}{4}$, касается третьего, нового незаряженного шара. Суммарный заряд системы равен $Q_3 = q_2 + 0 = \frac{q_0}{4}$.
После соприкосновения заряд $Q_3$ распределяется поровну. Заряд на исходном шаре становится:
$q_3 = \frac{Q_3}{2} = \frac{q_0/4}{2} = \frac{q_0}{8}$.
После третьего касания заряд исходного шара уменьшился в 8 раз по сравнению с начальным, что и требовалось найти.

Можно вывести общую формулу. После каждого касания заряд уменьшается в 2 раза. Следовательно, после $n$ касаний заряд $q_n$ будет связан с начальным зарядом $q_0$ соотношением:
$q_n = q_0 \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^n$
Нам нужно, чтобы $\frac{q_n}{q_0} = \frac{1}{8}$.
$\frac{1}{8} = \left(\frac{1}{2}\right)^n$
Так как $8 = 2^3$, то $\frac{1}{2^3} = \frac{1}{2^n}$.
Отсюда следует, что $n = 3$.
Следовательно, для уменьшения заряда в 8 раз потребуется 3 касания. Этот вариант соответствует пункту 2) в предложенных ответах.

Ответ: 3 раза.