Номер 3, страница 129 - гдз по физике 7 класс рабочая тетрадь Минькова, Иванова

Дано:

$F_1$ - сила, действующая на малый поршень;

$S_1$ - площадь малого поршня;

$h_1$ - высота, на которую опускается малый поршень;

$A_1$ - работа, совершаемая силой $F_1$;

$F_2$ - сила, действующая со стороны жидкости на большой поршень;

$S_2$ - площадь большого поршня;

$h_2$ - высота, на которую поднимается большой поршень;

$A_2$ - работа, совершаемая силой $F_2$.

Трение отсутствует.

Найти:

Доказать, что $A_1 = A_2$.

Решение:

«Золотое правило механики» гласит, что выигрыш в силе сопровождается проигрышем в расстоянии, а работы, совершаемые на входе и выходе простого механизма, равны (в идеальном случае). Для гидравлической машины это означает, что работа, совершаемая при опускании малого поршня, должна быть равна работе, совершаемой при подъеме большого поршня.

1. Работа $A_1$, совершаемая силой $F_1$ при перемещении малого поршня на расстояние $h_1$, определяется по формуле:

$A_1 = F_1 \cdot h_1$

2. Работа $A_2$, совершаемая большим поршнем при его подъеме на высоту $h_2$ под действием силы $F_2$, равна:

$A_2 = F_2 \cdot h_2$

3. Согласно указанию, когда малый поршень опускается на высоту $h_1$, он вытесняет объем жидкости $V_1$. Этот объем равен произведению площади поршня на высоту его перемещения:

$V_1 = S_1 \cdot h_1$

4. Жидкость в гидравлической машине считается несжимаемой. Поэтому вытесненный объем жидкости $V_1$ полностью перемещается во второй цилиндр, поднимая большой поршень на высоту $h_2$. Объем жидкости, добавившийся под большим поршнем, равен $V_2$:

$V_2 = S_2 \cdot h_2$

Поскольку $V_1 = V_2$, мы можем записать равенство:

$S_1 \cdot h_1 = S_2 \cdot h_2$

Из этого равенства можно выразить $h_1$:

$h_1 = \frac{S_2 \cdot h_2}{S_1}$

5. Согласно закону Паскаля, давление $\text{p}$, создаваемое на поверхность жидкости, передается во все точки жидкости без изменений. Следовательно, давление под малым поршнем $p_1$ равно давлению под большим поршнем $p_2$:

$p_1 = p_2$

По определению давления $p = F/S$, поэтому:

$\frac{F_1}{S_1} = \frac{F_2}{S_2}$

Из этого соотношения выразим силу $F_1$:

$F_1 = F_2 \cdot \frac{S_1}{S_2}$

6. Теперь подставим полученные выражения для $F_1$ и $h_1$ в формулу работы $A_1$:

$A_1 = F_1 \cdot h_1 = \left(F_2 \cdot \frac{S_1}{S_2}\right) \cdot \left(\frac{S_2 \cdot h_2}{S_1}\right)$

7. Сократим одинаковые множители ($S_1$ и $S_2$) в числителе и знаменателе:

$A_1 = F_2 \cdot h_2$

8. Сравнивая полученное выражение для $A_1$ с выражением для $A_2$ (из пункта 2), мы видим, что они идентичны:

$A_1 = A_2$

Это доказывает, что работа, совершенная приложенной силой, равна полезной работе, что и является «золотым правилом механики» для идеальной гидравлической машины.

Ответ: Доказано, что работа силы, приложенной к малому поршню ($A_1$), равна работе, совершаемой большим поршнем ($A_2$), то есть $A_1 = A_2$. Следовательно, закон равенства работ («золотое правило механики») применим к гидравлической машине.