номер 2, страница 56 - гдз по алгебре 9 класс контрольные и самостоятельные работы Крайнева

2.Дано:
$(y_n)$ — геометрическая прогрессия,
$y_1 = 81$,
$q = \frac{1}{3}$,
$n = 5$.

Найти: $S_5$.

Решение:

Сумму первых $n$ членов геометрической прогрессии можно найти по формуле:

$$S_n = \frac{y_1(1 - q^n)}{1 - q}$$

Вычислим значение $q^5$:

$$q^5 = \left(\frac{1}{3}\right)^5 = \frac{1}{243}$$

Подставим все известные данные в формулу суммы:

$$S_5 = \frac{81 \cdot \left(1 - \frac{1}{243}\right)}{1 - \frac{1}{3}} = \frac{81 \cdot \frac{242}{243}}{\frac{2}{3}}$$

Сократим $81$ и $243$ на $81$ (так как $243 = 81 \cdot 3$):

$$81 \cdot \frac{242}{243} = \frac{242}{3}$$

Теперь выполним деление числителя на знаменатель:

$$S_5 = \frac{\frac{242}{3}}{\frac{2}{3}} = \frac{242}{3} \cdot \frac{3}{2} = \frac{242}{2} = 121$$

Проверка:
Найдем первые пять членов прогрессии последовательным умножением на $q = \frac{1}{3}$:
$y_1 = 81$
$y_2 = 81 \cdot \frac{1}{3} = 27$
$y_3 = 27 \cdot \frac{1}{3} = 9$
$y_4 = 9 \cdot \frac{1}{3} = 3$
$y_5 = 3 \cdot \frac{1}{3} = 1$
Сложим их: $S_5 = 81 + 27 + 9 + 3 + 1 = 121$. Значения совпали.

Ответ: $121$