Теоретическое исследование, страница 234 - гдз по физике 9 класс учебник Хижнякова, Синявина

Глава 9. Физика атома и атомного ядра. Параграф 46. Ядерные силы. Вопросы - страница 234.

Условие.

Теоретическое исследование

Удельная энергия связи урана примерно на 1 МэВ/нуклон меньше удельной энергии связи атомных ядер с массовыми числами около 100. Подтвердите это положение двумя способами:

а) с помощью графика зависимости удельной энергии связи атомного ядра от массового числа (см. рис. 231);

б) вычислением удельной энергии связи ядер элементов соответствующих областей, например молибдена $^\text{90}_\text{42}\text{Mo}$ и урана $^\text{238}_\text{92}\text{U}$. Масса ядра молибдена $M_{\text{я}} = 97,9054$ а. е. м., масса ядра урана $M_{\text{я}} = 238,0508$ а. е. м.

Решение.

а) с помощью графика зависимости удельной энергии связи атомного ядра от массового числа (см. рис. 231);

График зависимости удельной энергии связи от массового числа представляет собой кривую, которая начинается от низких значений для легких ядер, резко возрастает, достигает максимума в районе массовых чисел $A \approx 50-60$ (например, у железа $\text{Fe}$), а затем плавно убывает для тяжелых ядер. Максимальное значение удельной энергии связи составляет примерно $8,7-8,8$ МэВ/нуклон.

Найдем на этом графике точки, соответствующие ядрам с массовым числом около 100 (область молибдена) и урану (массовое число 238). Для ядер с $A \approx 100$, удельная энергия связи близка к максимальной и составляет примерно $8,6$ МэВ/нуклон. Для урана ($A=238$) кривая идет на спад, и значение удельной энергии связи для него составляет около $7,6$ МэВ/нуклон.

Разница между этими значениями составляет: $8,6 \text{ МэВ/нуклон} - 7,6 \text{ МэВ/нуклон} = 1 \text{ МэВ/нуклон}$. Таким образом, анализ графика подтверждает, что удельная энергия связи урана примерно на 1 МэВ/нуклон меньше, чем у ядер с массовыми числами около 100.

Ответ: Анализ графика зависимости удельной энергии связи от массового числа показывает, что для $A \approx 100$ энергия связи составляет около $8,6$ МэВ/нуклон, а для урана ($A=238$) – около $7,6$ МэВ/нуклон. Разница составляет $\text{1}$ МэВ/нуклон, что подтверждает утверждение.

б) вычислением удельной энергии связи ядер элементов соответствующих областей, например молибдена $^{90}_{42}$Mo и урана $^{238}_{92}$U. Масса ядра молибдена $M_я = 97,9054$ а. е. м., масса ядра урана $M_я = 238,0508$ а. е. м.

Дано:

Ядро молибдена: $^{90}_{42}\text{Mo}$

Масса ядра молибдена: $M_{я}(\text{Mo}) = 97,9054 \text{ а. е. м.}$

Ядро урана: $^{238}_{92}\text{U}$

Масса ядра урана: $M_{я}(\text{U}) = 238,0508 \text{ а. е. м.}$

Масса протона: $m_p = 1,007276 \text{ а. е. м.}$

Масса нейтрона: $m_n = 1,008665 \text{ а. е. м.}$

Энергетический эквивалент атомной единицы массы: $1 \text{ а. е. м.} \approx 931,5 \text{ МэВ}$

1 а. е. м. (атомная единица массы) = $1,66054 \cdot 10^{-27}$ кг
1 МэВ (мегаэлектронвольт) = $1,602 \cdot 10^{-13}$ Дж

Найти:

Разницу удельных энергий связи молибдена и урана: $\Delta E_{уд} = E_{уд}(\text{Mo}) - E_{уд}(\text{U})$

Решение:

Удельная энергия связи $E_{уд}$ вычисляется по формуле:

$E_{уд} = \frac{E_{св}}{A}$

где $E_{св}$ – энергия связи ядра, $\text{A}$ – массовое число.

Энергия связи определяется через дефект масс $\Delta M$:

$E_{св} = \Delta M \cdot c^2 = \Delta M \cdot 931,5 \frac{\text{МэВ}}{\text{а. е. м.}}$

Дефект масс – это разница между суммарной массой нуклонов (протонов и нейтронов) в ядре и реальной массой ядра:

$\Delta M = (Z \cdot m_p + N \cdot m_n) - M_я$

где $\text{Z}$ – число протонов, $\text{N}$ – число нейтронов ($N = A - Z$).

1. Расчет для молибдена ($^{90}_{42}\text{Mo}$):

Число протонов $Z=42$, число нейтронов $N = 90 - 42 = 48$.

Суммарная масса нуклонов:

$Z \cdot m_p + N \cdot m_n = 42 \cdot 1,007276 + 48 \cdot 1,008665 = 42,305592 + 48,41592 = 98,721512 \text{ а. е. м.}$

Дефект масс ядра молибдена:

$\Delta M(\text{Mo}) = 98,721512 - 97,9054 = 0,816112 \text{ а. е. м.}$

Энергия связи ядра молибдена:

$E_{св}(\text{Mo}) = 0,816112 \text{ а. е. м.} \cdot 931,5 \frac{\text{МэВ}}{\text{а. е. м.}} \approx 760,1 \text{ МэВ}$

Удельная энергия связи молибдена:

$E_{уд}(\text{Mo}) = \frac{760,1 \text{ МэВ}}{90} \approx 8,45 \text{ МэВ/нуклон}$

2. Расчет для урана ($^{238}_{92}\text{U}$):

Число протонов $Z=92$, число нейтронов $N = 238 - 92 = 146$.

Суммарная масса нуклонов:

$Z \cdot m_p + N \cdot m_n = 92 \cdot 1,007276 + 146 \cdot 1,008665 = 92,669392 + 147,26509 = 239,934482 \text{ а. е. м.}$

Дефект масс ядра урана:

$\Delta M(\text{U}) = 239,934482 - 238,0508 = 1,883682 \text{ а. е. м.}$

Энергия связи ядра урана:

$E_{св}(\text{U}) = 1,883682 \text{ а. е. м.} \cdot 931,5 \frac{\text{МэВ}}{\text{а. е. м.}} \approx 1754,6 \text{ МэВ}$

Удельная энергия связи урана:

$E_{уд}(\text{U}) = \frac{1754,6 \text{ МэВ}}{238} \approx 7,37 \text{ МэВ/нуклон}$

3. Находим разницу удельных энергий связи:

$\Delta E_{уд} = E_{уд}(\text{Mo}) - E_{уд}(\text{U}) \approx 8,45 - 7,37 = 1,08 \text{ МэВ/нуклон}$

Полученное значение $1,08$ МэВ/нуклон очень близко к $\text{1}$ МэВ/нуклон.

Ответ: Расчет показал, что удельная энергия связи молибдена-90 составляет примерно $8,45$ МэВ/нуклон, а урана-238 – примерно $7,37$ МэВ/нуклон. Их разница составляет $1,08$ МэВ/нуклон, что подтверждает исходное утверждение.