Страница 49, часть 1 - гдз по математике 1 класс учебник часть 1, 2 Моро, Волкова

• У Миши такая монета:

  

  .

У Коли такие монеты:

У кого из них больше монет?

У кого из них больше рублей?

Сколько всего кукол у Лены и у Веры?

• Выбери для каждого рисунка подходящую запись.

У кого из них больше монет?
У Миши одна монета. У Коли — две монеты (одна монета в 1 рубль и одна в 2 рубля). Сравниваем количество монет: $2 > 1$.
Ответ: У Коли больше монет.

У кого из них больше рублей?
У Миши одна монета достоинством 5 рублей. У Коли две монеты, общая сумма которых равна $1 + 2 = 3$ рубля. Сравниваем, у кого больше денег: $5 \text{ рублей} > 3 \text{ рубля}$.
Ответ: У Миши больше рублей.

Сколько всего кукол у Лены и у Веры?
Посчитаем кукол у каждой девочки: у Лены 2 куклы, а у Веры 3 куклы. Чтобы найти, сколько всего у них кукол, сложим эти числа: $2 + 3 = 5$.
Ответ: Всего у Лены и Веры 5 кукол.

Выбери для каждого рисунка подходящую запись.
Для первого рисунка (медвежонок с вареньем): на столе стоят 3 банки, и медвежонок приносит еще 1 банку. Чтобы посчитать их общее количество, нужно выполнить сложение. Это действие описывается выражением $3 + 1$.
Для второго рисунка (медведица с пирожками): на тарелке уже лежат 3 пирожка, и медведица собирается добавить еще 2. Общее количество пирожков можно найти, выполнив сложение. Это действие описывается выражением $3 + 2$.
Ответ: Для первого рисунка подходит запись $3 + 1$, а для второго рисунка — $3 + 2$.

В этой задаче нужно «заселить» домики, то есть вписать недостающие числа в пустые окошки. Это упражнение на состав числа. Число на крыше каждого домика — это целое, а числа в окошках на каждом этаже — это его части. Сумма чисел в двух окошках на одном этаже (в одной строке) должна быть равна числу на крыше.

На крыше этого домика стоит число 4. Значит, сумма чисел на каждом этаже должна быть равна 4.

Верхний этаж: Уже есть числа 1 и 3. Проверяем их сумму: $1 + 3 = 4$. Здесь все правильно.

Нижний этаж: В одном окошке стоит число 2, а второе окошко пустое. Чтобы найти недостающее число, нужно из общего числа (4) вычесть известное (2). Получаем: $4 - 2 = 2$. Значит, в пустое окошко нужно вписать число 2.

Ответ: 2.

На крыше домика стоит число 5. Сумма чисел в окошках на каждом этаже должна быть равна 5.

Верхний этаж: В одном окошке стоит число 1, а второе пустое. Находим недостающее число, вычитая 1 из 5: $5 - 1 = 4$. В правое верхнее окошко нужно вписать 4.

Нижний этаж: В одном окошке стоит число 3, а второе пустое. Находим недостающее число, вычитая 3 из 5: $5 - 3 = 2$. В левое нижнее окошко нужно вписать 2.

Ответ: в верхнем ряду нужно вписать 4, в нижнем ряду — 2.

На крыше домика стоит число 3. Сумма чисел в окошках на каждом этаже должна быть равна 3.

Верхний этаж: В одном окошке стоит число 2, а второе пустое. Находим недостающее число, вычитая 2 из 3: $3 - 2 = 1$. В правое верхнее окошко нужно вписать 1.

Нижний этаж: В одном окошке стоит число 1, а второе пустое. Находим недостающее число, вычитая 1 из 3: $3 - 1 = 2$. В правое нижнее окошко нужно вписать 2.

Ответ: в верхнем ряду нужно вписать 1, в нижнем ряду — 2.

Расскажи, какие числа надо записать в окошки домов.

В таких задачах число на крыше дома — это сумма чисел, которые должны стоять в окошках на каждом этаже. Чтобы найти недостающее число в окошке, нужно из числа на крыше вычесть известное число на том же этаже. Рассмотрим на двух примерах.

Дом с числом 8

Представим дом, на крыше которого написано число 8. Это значит, что сумма чисел в двух окошках на каждом этаже должна быть равна 8.

Первый этаж: в одном окошке число 3. Находим число для второго окошка: $8 - 3 = 5$.

Второй этаж: в одном окошке число 6. Находим число для второго окошка: $8 - 6 = 2$.

Третий этаж: в одном окошке число 4. Находим число для второго окошка: $8 - 4 = 4$.

Четвертый этаж: в одном окошке число 1. Находим число для второго окошка: $8 - 1 = 7$.

Ответ: в пустые окошки дома с числом 8 нужно вписать числа 5, 2, 4, 7 (в зависимости от того, какое число уже есть на этаже).

Дом с числом 9

Теперь представим дом, на крыше которого написано число 9. Сумма чисел в окошках на каждом этаже должна быть равна 9.

Первый этаж: в одном окошке число 5. Находим второе число: $9 - 5 = 4$.

Второй этаж: в одном окошке число 7. Находим второе число: $9 - 7 = 2$.

Третий этаж: в одном окошке число 8. Находим второе число: $9 - 8 = 1$.

Четвертый этаж: в одном окошке число 3. Находим второе число: $9 - 3 = 6$.

Ответ: в пустые окошки дома с числом 9 нужно вписать числа 4, 2, 1, 6.

8. У Олега в наборе 5 инструментов, у Игоря 4 инструмента, а у Глеба столько, сколько у Олега и Игоря вместе. Сколько инструментов у Глеба?

Чтобы найти, сколько инструментов у Глеба, нужно сложить количество инструментов Олега и количество инструментов Игоря, так как по условию у Глеба их столько же, сколько у Олега и Игоря вместе.
Количество инструментов у Олега: 5.
Количество инструментов у Игоря: 4.
Выполним сложение:
$5 + 4 = 9$
Таким образом, у Глеба 9 инструментов.

Ответ: 9 инструментов.

9. Сравни примеры в каждом столбике. Определи, по какому правилу они составлены. Запиши ещё по одному примеру и вычисли.

Первый столбик

В примерах $9 - 6$, $9 - 5$, $9 - 4$ мы видим, что уменьшаемое всегда равно 9, а вычитаемое с каждым новым примером уменьшается на 1 (сначала 6, потом 5, потом 4). Чтобы составить следующий пример по этому правилу, нужно уменьшить последнее вычитаемое (4) еще на 1: $4 - 1 = 3$. Таким образом, следующий пример будет $9 - 3$. Вычислим его: $9 - 3 = 6$.

Ответ: $9 - 3 = 6$.

Второй столбик

В примерах $3 + 6$, $3 + 5$, $3 + 4$ первое слагаемое всегда равно 3, а второе слагаемое каждый раз уменьшается на 1 (сначала 6, потом 5, потом 4). Чтобы составить следующий пример, уменьшим последнее второе слагаемое (4) на 1: $4 - 1 = 3$. Следующий пример в этом столбике: $3 + 3$. Вычислим его: $3 + 3 = 6$.

Ответ: $3 + 3 = 6$.

Третий столбик

В примерах $8 - 3 + 4$, $8 - 2 + 3$, $8 - 1 + 2$ первое число (8) остается неизменным. Вычитаемое каждый раз уменьшается на 1 (3, 2, 1), и слагаемое тоже уменьшается на 1 (4, 3, 2). Следуя этому правилу, следующее вычитаемое будет $1 - 1 = 0$, а следующее слагаемое будет $2 - 1 = 1$. Получаем следующий пример: $8 - 0 + 1$. Вычислим его: $8 - 0 + 1 = 8 + 1 = 9$.

Ответ: $8 - 0 + 1 = 9$.

Четвертый столбик

В примерах $6 + 4 - 7$, $6 + 3 - 7$, $6 + 2 - 7$ первое слагаемое (6) и вычитаемое (7) остаются постоянными. Меняется только второе слагаемое, которое каждый раз уменьшается на 1 (4, 3, 2). Чтобы составить следующий пример, уменьшим последнее второе слагаемое (2) на 1: $2 - 1 = 1$. Получаем следующий пример: $6 + 1 - 7$. Вычислим его: $6 + 1 - 7 = 7 - 7 = 0$.

Ответ: $6 + 1 - 7 = 0$.

10. Как можно разложить 10 кубиков разными способами в две коробки?

Эта задача по комбинаторике может быть решена по-разному в зависимости от того, считаются ли кубики и коробки различимыми (уникальными) или неразличимыми (одинаковыми). Поскольку в условии нет уточнений, мы рассмотрим все четыре возможных сценария. В классической комбинаторике, если не указано обратное, объекты и их контейнеры принято считать различимыми, поэтому первый случай является наиболее стандартным решением.

Случай 1: Кубики различимы и коробки различимы
Это самая распространенная интерпретация подобных задач. Мы предполагаем, что каждый из 10 кубиков уникален (например, имеет свой номер или цвет), и коробки также отличаются друг от друга (например, "коробка А" и "коробка Б").
Для первого кубика существует 2 варианта размещения: положить его в первую коробку или во вторую.
Для второго кубика также есть 2 варианта, и этот выбор не зависит от расположения первого кубика.
Такая же логика применима ко всем 10 кубикам.
Согласно основному правилу комбинаторики (правилу произведения), общее количество способов равно произведению количества вариантов для каждого независимого выбора.
Общее количество способов: $2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 = 2^{10}$.
Вычислим значение: $2^{10} = 1024$.
Этот подсчет включает в себя и те два случая, когда одна из коробок остается пустой.
Ответ: 1024 способа.

Случай 2: Кубики неразличимы, а коробки различимы
В этом сценарии все 10 кубиков считаются абсолютно одинаковыми, но коробки по-прежнему различимы. Задача сводится к определению, сколькими способами можно распределить 10 идентичных единиц на две группы.
Пусть $x_1$ — количество кубиков в первой коробке, а $x_2$ — во второй. Тогда должно выполняться условие: $x_1 + x_2 = 10$.
Нам нужно найти количество целочисленных неотрицательных решений этого уравнения. Перечислим их в формате (кубиков в 1-й коробке, кубиков во 2-й коробке):
(0, 10), (1, 9), (2, 8), (3, 7), (4, 6), (5, 5), (6, 4), (7, 3), (8, 2), (9, 1), (10, 0).
Всего получается 11 различных комбинаций.
Эту задачу можно решить и по общей формуле для сочетаний с повторениями. Число способов разложить $n$ одинаковых предметов по $k$ различным ящикам равно $C_{n+k-1}^{k-1} = \binom{n+k-1}{k-1}$.
Для $n=10$ и $k=2$ получаем: $\binom{10+2-1}{2-1} = \binom{11}{1} = 11$.
Ответ: 11 способов.

Случай 3: Кубики различимы, а коробки неразличимы
Здесь кубики уникальны, а вот коробки абсолютно одинаковы. Это означает, что размещение набора кубиков {1, 2} в одной коробке и {3, ..., 10} в другой не отличается от размещения {3, ..., 10} в первой и {1, 2} во второй.
Эта задача сводится к разбиению множества из 10 элементов на подмножества. Так как коробки две, мы можем разбить 10 кубиков на одну или две группы.
Количество способов разбить множество из $n$ элементов на $k$ непустых подмножеств определяется числом Стирлинга второго рода $S(n, k)$. Нам нужно найти сумму $S(10, 1) + S(10, 2)$.
$S(10, 1) = 1$ (это случай, когда все кубики находятся в одной группе, а вторая коробка пуста).
$S(10, 2)$ можно рассчитать по формуле $S(n, 2) = 2^{n-1} - 1$.
$S(10, 2) = 2^{10-1} - 1 = 2^9 - 1 = 512 - 1 = 511$.
Общее число способов равно сумме этих значений: $1 + 511 = 512$.
Ответ: 512 способов.

Случай 4: Кубики неразличимы и коробки неразличимы
Это самый простой вариант, в котором и кубики, и коробки одинаковы. Задача сводится к поиску числа разбиений числа 10 на не более чем два слагаемых. Порядок слагаемых здесь не имеет значения.
Возможные разбиения общего количества кубиков (10) на две группы:
10 + 0 (все кубики в одной коробке)
9 + 1
8 + 2
7 + 3
6 + 4
5 + 5
Вариант 4 + 6 будет идентичен варианту 6 + 4, так как коробки неразличимы. Таким образом, мы перечислили все возможные уникальные способы.
Их общее количество равно 6.
Ответ: 6 способов.

Сколько палочек на каждом рисунке?

Чтобы определить количество палочек на каждом рисунке, необходимо посчитать количество палочек в пучке и прибавить к нему количество отдельных палочек. В задачах такого типа один связанный пучок обычно символизирует один десяток, то есть 10 палочек.

На этом рисунке изображен 1 пучок (10 палочек) и 3 отдельные палочки. Чтобы найти общее количество, сложим эти значения:
$10 + 3 = 13$
Ответ: 13 палочек.

На этом рисунке мы видим 1 пучок (10 палочек) и 5 отдельных палочек. Складываем их количество:
$10 + 5 = 15$
Ответ: 15 палочек.

На нижнем рисунке изображен 1 пучок (10 палочек) и 7 отдельных палочек. Посчитаем их общую сумму:
$10 + 7 = 17$
Ответ: 17 палочек.

Чтобы найти лишнюю фигуру, необходимо проанализировать свойства всех четырех предложенных фигур и выявить ту, которая отличается от остальных по какому-либо признаку.

Рассмотрим каждую фигуру:

• Фигура 1 — это многоугольник розового цвета. Посчитав его стороны, мы видим, что их 5. Следовательно, это пятиугольник.
• Фигура 2 — это многоугольник зеленого цвета. У него также 5 сторон, это пятиугольник. Можно заметить, что он является правильным пятиугольником (все стороны и углы равны).
• Фигура 3 — это многоугольник розового цвета. Посчитаем его стороны: их 4. Это четырехугольник.
• Фигура 4 — это многоугольник розового цвета с 5 сторонами, то есть пятиугольник.

Теперь сравним фигуры по их свойствам:

1. По количеству сторон: Фигуры 1, 2 и 4 являются пятиугольниками (у каждой по 5 сторон), а фигура 3 — четырехугольник (4 стороны). По этому признаку лишней является фигура 3.
2. По цвету: Фигуры 1, 3 и 4 розовые, а фигура 2 — зеленая. По этому признаку лишней является фигура 2.
3. По форме (правильности): Фигура 2 является правильным многоугольником, в то время как фигуры 1, 3 и 4 — неправильные (их стороны и углы не равны между собой). По этому признаку лишней также является фигура 2.

Хотя фигура 2 отличается сразу по двум признакам (цвет и правильность формы), наиболее фундаментальным свойством, определяющим тип геометрической фигуры, является количество углов и сторон. Фигуры 1, 2 и 4 принадлежат к одному классу многоугольников — пятиугольникам. Фигура 3 принадлежит к другому классу — четырехугольникам. Поэтому наиболее логичным и обоснованным является выбор фигуры 3 в качестве лишней.

Ответ: Лишней является фигура 3, так как это единственная фигура с четырьмя сторонами, в то время как все остальные имеют по пять сторон.