Страница 36, часть 2 - гдз по математике 1 класс учебник часть 1, 2, 3 Петерсон

1 Сосчитай до четырёх и обратно. Какие числа пропущены?

$1$ $2$ [ ] $4$

[ ] [ ] $3$ [ ] $1$

Счёт до четырёх
В первой последовательности нужно сосчитать от одного до четырёх. Числовой ряд при счёте по порядку выглядит так: 1, 2, 3, 4. В задании дана последовательность: 1, 2, [...], 4. Сравнивая полный числовой ряд с тем, что дан в задании, мы видим, что пропущено число 3, которое стоит между 2 и 4.
Ответ: $3$.

Счёт обратно
Во второй последовательности нужно сосчитать в обратном порядке от четырёх до одного. Числовой ряд в этом случае выглядит так: 4, 3, 2, 1. В задании дана последовательность: [...], 3, [...], 1. Сравнивая полный обратный числовой ряд с заданием, мы видим, что пропущены два числа:

• Первое число в ряду — это $4$.
• Третье число в ряду, стоящее между 3 и 1, — это $2$.

Таким образом, пропущены числа 4 и 2.
Ответ: $4$ и $2$.

2 Назови части и целое. Дополни и запиши равенства. Как они связаны между собой?

$Ж + С = К$

$С + Ж = \Box$

$К - Ж = \Box$

$К - \Box = \Box$

$2 + 2 = \Box$

$\Box + \Box = \Box$

$4 - 2 = \Box$

$\Box - \Box = \Box$

Какие записи повторяются? Почему?

На изображении мы видим целое и две части.

• Целое (К) — это все круги вместе. В прямоугольнике 2 желтых и 2 синих круга. Всего $2 + 2 = 4$ круга.
• Части — это группы, из которых состоит целое.
  • Часть Ж — это желтые круги, их 2.
  • Часть С — это синие круги, их тоже 2.

Ответ: Целое К = 4, часть Ж = 2, часть С = 2.

На основе определенных частей и целого заполняем пропуски в равенствах:

• Ж + С = К → $2 + 2 = 4$
• С + Ж = К → $2 + 2 = 4$
• К - Ж = С → $4 - 2 = 2$
• К - С = Ж → $4 - 2 = 2$

Ответ: $2 + 2 = 4$; $2 + 2 = 4$; $4 - 2 = 2$; $4 - 2 = 2$.

Эти равенства демонстрируют взаимосвязь между сложением и вычитанием.

• Чтобы найти целое (К), нужно сложить его части (Ж и С).
• Чтобы найти неизвестную часть, нужно из целого вычесть известную часть.
• Первые два равенства также показывают переместительное свойство сложения: от перемены мест слагаемых сумма не меняется.

Ответ: Равенства связаны действиями сложения и вычитания: сумма частей равна целому, а разность целого и одной части равна другой части.

В этом задании повторяются две числовые записи: $2 + 2 = 4$ и $4 - 2 = 2$.
Это происходит потому, что части, из которых состоит целое, равны между собой (Ж = 2 и С = 2).

• Из-за того, что слагаемые одинаковые (2 и 2), их перестановка в примере на сложение не меняет запись.
• При вычитании из целого (4) любой из частей (которые обе равны 2), мы получаем в ответе другую часть, которая тоже равна 2. Поэтому пример на вычитание также повторяется.

Ответ: Повторяются записи $2 + 2 = 4$ и $4 - 2 = 2$, потому что части (слагаемые) Ж и С равны.

3 Объясни по рисункам смысл выражений. Запиши выражения в тетради и найди их значения.

$2 + 1$

$4 - 2$

$1 + 3$

$3 - 1$

2 + 1
На первом рисунке изображены 2 красных круга и 1 зеленый треугольник. Чтобы найти общее количество фигур, нужно сложить их количество. Выражение $2 + 1$ показывает, что к двум фигурам одного вида добавляют одну фигуру другого вида.
$2 + 1 = 3$
Ответ: 3

4 - 2
На втором рисунке было 4 желтых круга, но 2 из них зачеркнули. Это означает, что их убрали. Выражение $4 - 2$ показывает, сколько фигур осталось после того, как из четырех убрали две.
$4 - 2 = 2$
Ответ: 2

1 + 3
На третьем рисунке мы видим 1 красный круг и 3 зеленых квадрата. Чтобы узнать, сколько всего фигур, нужно сложить их количество. Выражение $1 + 3$ как раз и обозначает это действие: сложение одной фигуры и трех других.
$1 + 3 = 4$
Ответ: 4

3 - 1
На четвертом рисунке было 3 синих круга, но 1 из них зачеркнули. Выражение $3 - 1$ показывает, сколько фигур останется, если из трех имеющихся убрать одну.
$3 - 1 = 2$
Ответ: 2

4 Выполни действия. Что ты замечаешь?

$1 + 2$ $3 + 1$ $2 + 2$

$3 - 1$ $4 - 3$ $4 - 2$

1 + 2

Складываем числа 1 и 2. К одному прибавить два, получится три.

$1 + 2 = 3$

Ответ: 3

3 - 1

Из числа 3 вычитаем число 1. От трех отнять один, получится два.

$3 - 1 = 2$

Ответ: 2

3 + 1

Складываем числа 3 и 1. К трем прибавить один, получится четыре.

$3 + 1 = 4$

Ответ: 4

4 - 3

Из числа 4 вычитаем число 3. От четырех отнять три, получится один.

$4 - 3 = 1$

Ответ: 1

2 + 2

Складываем числа 2 и 2. К двум прибавить два, получится четыре.

$2 + 2 = 4$

Ответ: 4

4 - 2

Из числа 4 вычитаем число 2. От четырех отнять два, получится два.

$4 - 2 = 2$

Ответ: 2

Что ты замечаешь?

Можно заметить, что примеры в каждом столбце связаны между собой. Вычитание является обратным действием для сложения. В каждом столбце второй пример является проверкой для первого.

Если из суммы (результат первого примера) вычесть одно из слагаемых, то получится второе слагаемое.

• В первом столбце: $1 + 2 = 3$. Если из суммы $3$ вычесть первое слагаемое $1$, то получится второе слагаемое $2$: $3 - 1 = 2$.
• Во втором столбце: $3 + 1 = 4$. Если из суммы $4$ вычесть первое слагаемое $3$, то получится второе слагаемое $1$: $4 - 3 = 1$.
• В третьем столбце: $2 + 2 = 4$. Если из суммы $4$ вычесть одно слагаемое $2$, то получится другое слагаемое $2$: $4 - 2 = 2$.

Это общее правило можно записать с помощью букв: если $a + b = c$, то $c - a = b$ и $c - b = a$.

5 Что общего у фигур?

Перерисуй их в тетрадь. Придумай свои фигуры из четырёх клеток.

Что общего у фигур?

Чтобы определить, что общего у зелёной, красной и синей фигур, нужно проанализировать их свойства. Главное свойство таких фигур — это площадь, то есть количество клеток, из которых они состоят.

• Первая фигура (зелёная) представляет собой квадрат со стороной в 2 клетки. Её площадь равна $S_1 = 2 \times 2 = 4$ клетки.
• Вторая фигура (красная) состоит из нижнего ряда в 3 клетки и одной клетки над центральной клеткой этого ряда. Её общая площадь равна $S_2 = 3 + 1 = 4$ клетки.
• Третья фигура (синяя) состоит из двух смещённых рядов по 2 клетки в каждом. Её площадь равна $S_3 = 2 + 2 = 4$ клетки.

Мы видим, что все три фигуры, несмотря на разную форму, состоят из одинакового количества клеток.

Ответ: все фигуры состоят из четырёх клеток.

Придумай свои фигуры из четырёх клеток.

Кроме фигур, показанных в задании, можно составить и другие фигуры из четырёх клеток (такие фигуры также называют "тетрамино"). Вот несколько примеров:

1. Фигура в виде прямой линии ("палка"):

2. Фигура в виде буквы "Г":

Ответ: в качестве примеров можно привести фигуру в виде прямой линии из четырёх клеток или фигуру в виде буквы "Г".

1 На рисунке показаны кубик Рубика и одна из его граней. Что обозначают буквы С, К, В? Какие равенства можно составить? Объясни их смысл.

Обозначения букв:

B - общее количество квадратов на грани кубика.

C - количество синих квадратов на грани.

K - количество красных квадратов на грани.

Равенства:

$C + K = B$

$\square + \square = \square$

$\square - \square = \square$

$\square - \square = \square$

Что обозначают буквы С, К, В?
На изображенной грани кубика Рубика есть квадратики двух цветов: синего и красного. Буквы обозначают количество квадратиков определенного цвета или их общее количество.

• С — это количество синих квадратиков. Посчитав их, получаем: С = 3.
• К — это количество красных квадратиков. Посчитав их, получаем: К = 6.
• В — это всего квадратиков на одной грани. Всего на грани $3 \times 3 = 9$ квадратиков. В = 9.

Ответ: С - количество синих квадратиков (3), К - количество красных квадратиков (6), В - общее количество квадратиков на грани (9).

Какие равенства можно составить?
Используя числа 3, 6 и 9, можно составить одно равенство на сложение и два на вычитание, которые показывают связь между частями (количеством синих и красных квадратиков) и целым (общим количеством).

$C + K = B \rightarrow 3 + 6 = 9$
$B - K = C \rightarrow 9 - 6 = 3$
$B - C = K \rightarrow 9 - 3 = 6$

Ответ: $3 + 6 = 9$, $9 - 6 = 3$, $9 - 3 = 6$.

Объясни их смысл.
Каждое равенство описывает соотношение между количеством квадратиков разного цвета и их общим числом на грани кубика.

• $3 + 6 = 9$: Если сложить количество синих квадратиков (3) и количество красных квадратиков (6), то получится общее количество квадратиков на грани (9).
• $9 - 6 = 3$: Если из общего количества квадратиков (9) вычесть количество красных (6), то останется количество синих квадратиков (3).
• $9 - 3 = 6$: Если из общего количества квадратиков (9) вычесть количество синих (3), то останется количество красных квадратиков (6).

Ответ: Равенства показывают, как найти общее количество квадратиков, зная количество квадратиков каждого цвета (сложение), или как найти количество квадратиков одного цвета, зная общее количество и количество квадратиков другого цвета (вычитание).

2 а) Используя рисунки, разбей число 9 на две части. Для одного рисунка по своему выбору составь 4 равенства.

Например, для первого рисунка (6 желтых, 3 зеленых):

$6 + 3 = 9$

$3 + 6 = 9$

$9 - 6 = 3$

$9 - 3 = 6$

б) Для каждой грани найди линии-«зеркала». Сколько таких линий ты сможешь найти?

а)

Каждый рисунок состоит из 9 маленьких квадратов. Цвета делят общее количество квадратов на две части. Найдем, на какие части разбито число 9 в каждом случае:

• Первый рисунок (желтый и зеленый): 6 желтых квадратов и 3 зеленых. Число 9 разбито на части 6 и 3.
• Второй рисунок (синий и белый): 5 синих квадратов и 4 белых. Число 9 разбито на части 5 и 4.
• Третий рисунок (зеленый и красный): 7 зеленых квадратов и 2 красных. Число 9 разбито на части 7 и 2.
• Четвертый рисунок (желтый и красный): 8 желтых квадратов и 1 красный. Число 9 разбито на части 8 и 1.

Составим 4 равенства для одного рисунка, например, для второго (5 синих и 4 белых квадрата):

$5 + 4 = 9$

$4 + 5 = 9$

$9 - 5 = 4$

$9 - 4 = 5$

Ответ: Пример для второго рисунка: $5 + 4 = 9$; $4 + 5 = 9$; $9 - 5 = 4$; $9 - 4 = 5$.

б)

Линия-«зеркало» — это линия симметрии, относительно которой рисунок выглядит одинаково с обеих сторон. Найдем такие линии для каждой грани (рисунка):

• Для первого рисунка: Можно провести только одну вертикальную линию через центр. Она разделит рисунок на две зеркальные половины. Горизонтальная и диагональные линии не являются осями симметрии для этого узора. Всего 1 линия.
• Для второго рисунка: Этот узор (шахматная доска) имеет две диагональные линии симметрии. Вертикальная и горизонтальная линии симметрии отсутствуют. Всего 2 линии.
• Для третьего рисунка: Этот узор симметричен относительно вертикальной, горизонтальной и двух диагональных линий, проходящих через центр. Всего 4 линии.
• Для четвертого рисунка: Этот узор, как и предыдущий, имеет максимальное количество линий симметрии для квадрата. Он симметричен относительно вертикальной, горизонтальной и двух диагональных линий. Всего 4 линии.

Ответ: Для первого рисунка – 1 линия, для второго – 2 линии, для третьего – 4 линии, для четвертого – 4 линии.

3 Найди лишние выражения и обоснуй свой ответ.

$3 + 6$ $8 - 4$ $5 + 2$ $9 - 6$

$9 - 5$ $6 + 3$ $9 - 3$ $6 + 1$

Чтобы найти лишние выражения, нужно сначала вычислить значение каждого из них, а затем найти общую закономерность, которой некоторые выражения не соответствуют.

1. Вычислим значения всех выражений:

$3 + 6 = 9$

$8 - 4 = 4$

$5 + 2 = 7$

$9 - 6 = 3$

$9 - 5 = 4$

$6 + 3 = 9$

$9 - 3 = 6$

$6 + 1 = 7$

2. Проанализируем изображение:

На рисунке изображена сетка из квадратов. Посчитаем их количество:

Всего на рисунке 9 квадратов.

Из них 4 синих квадрата.

И 5 желтых квадратов.

3. Найдем лишние выражения и обоснуем ответ:

Теперь сравним результаты вычислений с числами, полученными из анализа изображения.

Значения выражений $3+6$ и $6+3$ равны 9. Это число соответствует общему количеству квадратов на рисунке.

Значения выражений $8-4$ и $9-5$ равны 4. Это число соответствует количеству синих квадратов на рисунке.

Оставшиеся выражения — это $5+2$, $9-6$, $9-3$ и $6+1$. Их значения равны 7, 3 и 6. Эти числа не соответствуют ни общему количеству квадратов (9), ни количеству синих (4) или желтых (5) квадратов. Следовательно, эти выражения не связаны с рисунком и являются лишними.

Ответ: Лишние выражения: $5+2$, $9-6$, $9-3$, $6+1$.

4 Выбери квадрат. Вычисли устно. Нарисуй в тетради такой же квадрат и раскрась указанными цветами.

$1+5$ $0+8$ $3+3$

$9-1$ $8+1$ $2+6$

$9-3$ $5+3$ $2+4$

$9-0$ $6-1$ $5+4$

$7-1$ $7-3$ $8-3$

$4+4$ $8-2$ $2+7$

$4+3$ $5-0$ $5+2$

$1+4$ $9+0$ $9-4$

$9-2$ $3+2$ $8-4$

4 5 6 7 8 9

Для решения этой задачи необходимо последовательно выполнить три шага, указанных в условии: выбрать подходящий квадрат, вычислить значения в его ячейках и раскрасить его в соответствии с результатами.

В задании дано три квадрата 3x3 с математическими примерами и цветовой ключ для результатов от 4 до 9. Чтобы выбрать правильный квадрат, нужно найти тот, в котором результаты вычислений наиболее полно соответствуют числам из ключа. Проанализируем каждый квадрат:

Квадрат 1 (слева): Результаты вычислений — 6, 8, 6, 8, 9, 8, 6, 8, 6. Встречаются только числа 6, 8 и 9. Отсутствуют числа 4, 5, 7 из ключа.

Квадрат 2 (в центре): Результаты вычислений — 9, 5, 9, 6, 4, 5, 8, 6, 9. Встречаются числа 4, 5, 6, 8, 9. Отсутствует только число 7.

Квадрат 3 (справа): Результаты вычислений — 7, 5, 7, 5, 9, 5, 7, 5, 4. Встречаются только числа 4, 5, 7, 9. Отсутствуют числа 6 и 8.

Сравнивая результаты, мы видим, что второй (средний) квадрат является наиболее подходящим, так как в нем используются почти все числа из цветового ключа. Ответ: Для решения задачи выбран средний квадрат.

Теперь вычислим значение для каждой ячейки выбранного (среднего) квадрата и определим цвет для раскраски согласно ключу.

Цветовой ключ:
4 — Белый
5 — Красный
6 — Синий
7 — Зеленый
8 — Желтый
9 — Оранжевый

Вычисления для ячеек среднего квадрата:

Верхний ряд:
Левая ячейка: $9 - 0 = 9$ (Оранжевый)
Средняя ячейка: $6 - 1 = 5$ (Красный)
Правая ячейка: $5 + 4 = 9$ (Оранжевый)

Средний ряд:
Левая ячейка: $7 - 1 = 6$ (Синий)
Центральная ячейка: $7 - 3 = 4$ (Белый)
Правая ячейка: $8 - 3 = 5$ (Красный)

Нижний ряд:
Левая ячейка: $4 + 4 = 8$ (Желтый)
Средняя ячейка: $8 - 2 = 6$ (Синий)
Правая ячейка: $2 + 7 = 9$ (Оранжевый)

Ответ: Результаты вычислений и соответствующие им цвета для ячеек среднего квадрата определены: 9 (оранжевый), 5 (красный), 9 (оранжевый), 6 (синий), 4 (белый), 5 (красный), 8 (желтый), 6 (синий), 9 (оранжевый).

На основе выполненных вычислений, раскрашенный квадрат будет выглядеть следующим образом (с числами-результатами внутри ячеек):

Ответ: Квадрат раскрашен в соответствии с результатами: верхний ряд — оранжевый, красный, оранжевый; средний ряд — синий, белый, красный; нижний ряд — желтый, синий, оранжевый.

1 В каких счётных единицах выражено количество банок, количество ёлочных шаров? Когда и почему удобно использовать укрупнённые единицы счёта?

$2 \text{ ящ. } 5 \text{ шт. } = \square \square$ . . . . . .

$3 \text{ кор. } 4 \text{ шт. } = \square \square \square$ . .

Количество банок выражено в счётных единицах — штуках и ящиках. Количество ёлочных шаров — в штуках и коробках. Ящики и коробки являются укрупнёнными единицами счёта. Использовать укрупнённые единицы удобно, когда предметов много. Это ускоряет и упрощает счёт, а также делает восприятие большого количества более наглядным. Например, легче посчитать 2 ящика, чем 20 отдельных банок.

2 ящ. 5 шт.
Чтобы найти общее количество банок, нужно к количеству банок в ящиках прибавить количество отдельных банок. На рисунке видно, что в одном ящике 10 банок. Значит, в двух ящиках:
$2 \times 10 = 20$ банок.
Теперь прибавим оставшиеся 5 банок:
$20 + 5 = 25$ банок.
Ответ: 25 шт.

3 кор. 4 шт.
Чтобы найти общее количество ёлочных шаров, предположим, что в одной коробке находится 10 шаров (по аналогии с ящиком банок). Тогда в трёх коробках будет:
$3 \times 10 = 30$ шаров.
Теперь прибавим оставшиеся 4 шара:
$30 + 4 = 34$ шара.
Ответ: 34 шт.

2 Объясни по рисункам:

a) как сравнили числа, выраженные в ящиках и штуках:

$\square \square \square \cdot \cdot \cdot \cdot > \square \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot$
3 ящ. 4 шт. > 1 ящ. 5 шт.

$\square \square \cdot \cdot \cdot < \square \square \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot$
2 ящ. 3 шт. < 2 ящ. 6 шт.

б) как сложили и вычли числа, выраженные в коробках и штуках:

$\square \square \cdot + \square \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot = \square \square \square \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot$
2 кор. 1 шт. + 1 кор. 5 шт. = 3 кор. 6 шт.

$\square \square \square \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot - \square \square \cdot = \square \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot$
3 кор. 6 шт. − 2 кор. 1 шт. = 1 кор. 5 шт.

а) как сравнили числа, выраженные в ящиках и штуках:

Сравнение чисел, которые состоят из ящиков и штук, происходит поразрядно, начиная с более крупных единиц — ящиков.

В первом примере сравнивают 3 ящ. 4 шт. и 1 ящ. 5 шт.
Сначала смотрим на количество ящиков. Слева 3 ящика, а справа 1 ящик. Так как $3 > 1$, то первое число больше второго. Количество штук в данном случае уже не имеет значения для сравнения.

Во втором примере сравнивают 2 ящ. 3 шт. и 2 ящ. 6 шт.
Сначала смотрим на количество ящиков. Слева 2 ящика и справа 2 ящика. Количество ящиков одинаково ($2=2$). В этом случае нужно сравнить количество штук. Слева 3 штуки, а справа 6 штук. Так как $3 < 6$, то первое число меньше второго.

Ответ: Сначала сравнивают количество ящиков. То число больше, в котором ящиков больше. Если количество ящиков одинаковое, то сравнивают количество штук. Большим будет то число, в котором штук больше.

б) как сложили и вычли числа, выраженные в коробках и штуках:

При сложении и вычитании таких чисел действия выполняются отдельно для каждой единицы измерения: коробки складывают с коробками (или вычитают из них), а штуки — со штуками.

Пример на сложение: 2 кор. 1 шт. + 1 кор. 5 шт. = 3 кор. 6 шт.
1. Складываем коробки: $2 \text{ кор.} + 1 \text{ кор.} = 3 \text{ кор.}$
2. Складываем штуки: $1 \text{ шт.} + 5 \text{ шт.} = 6 \text{ шт.}$
В результате получаем 3 коробки и 6 штук.

Пример на вычитание: 3 кор. 6 шт. – 2 кор. 1 шт. = 1 кор. 5 шт.
1. Вычитаем коробки: $3 \text{ кор.} - 2 \text{ кор.} = 1 \text{ кор.}$
2. Вычитаем штуки: $6 \text{ шт.} - 1 \text{ шт.} = 5 \text{ шт.}$
В результате получаем 1 коробку и 5 штук.

Ответ: Чтобы сложить или вычесть числа, выраженные в коробках и штуках, нужно выполнить действия отдельно с коробками и отдельно со штуками, а затем записать итоговый результат.

3 Сделай рисунок и реши задачу. Какие единицы счёта в ней используются?

а) В магазине на одной полке стояло 3 ящика и 5 банок консервов, а на другой полке – 2 таких же ящика и 1 банка консервов. Сколько консервов на двух полках?

б) В школу привезли 5 пачек букварей и ещё 7 букварей, а ученикам раздали 4 пачки букварей и 2 букваря. Сколько осталось букварей?

В этих задачах используются укрупнённые единицы счёта: группы предметов (ящики, пачки) и отдельные предметы (банки, буквари). Решение задач сводится к выполнению арифметических действий с одноимёнными единицами (ящики складываем с ящиками, банки с банками и т.д.).

а)

Для наглядности представим условие задачи в виде рисунка. Обозначим ящик большим квадратом (☐), а банку — маленьким кружком (○).

На первой полке: ☐☐☐ ○○○○○ (3 ящика и 5 банок)
На второй полке: ☐☐ ○ (2 ящика и 1 банка)

Чтобы найти общее количество консервов на двух полках, необходимо сложить количество ящиков с ящиками, а количество отдельных банок с банками.

1) Сложим количество ящиков на обеих полках:
$3 + 2 = 5$ (ящиков)

2) Сложим количество банок на обеих полках:
$5 + 1 = 6$ (банок)

В итоге на двух полках находится 5 ящиков и 6 банок консервов.

Ответ: на двух полках 5 ящиков и 6 банок консервов.

б)

Представим условие с помощью рисунка. Обозначим пачку букварей прямоугольником (█), а отдельный букварь — квадратиком (▫).

Привезли в школу: █ █ █ █ █ ▫▫▫▫▫▫▫ (5 пачек и 7 букварей)
Раздали ученикам: █ █ █ █ ▫▫ (4 пачки и 2 букваря)

Чтобы узнать, сколько букварей осталось, нужно из того, что привезли, вычесть то, что раздали. Выполним вычитание по отдельности для пачек и для букварей.

1) Вычтем пачки, которые раздали, из тех, что привезли:
$5 - 4 = 1$ (пачка)

2) Вычтем отдельные буквари, которые раздали, из тех, что привезли:
$7 - 2 = 5$ (букварей)

Следовательно, в школе осталась 1 пачка и 5 букварей.

Ответ: осталась 1 пачка и 5 букварей.