Страница 14, часть 3 - гдз по математике 1 класс учебник часть 1, 2, 3 Петерсон

1 Рассмотри рисунок. Каким знаком обозначены равные группы предметов, а каким – не равные группы?

Если группы предметов равны, то между ними ставят знак $=$, а если не равны – то знак $\neq$.

Равные группы предметов
На верхнем рисунке в левой и правой рамках находятся одинаковые предметы: плюшевый мишка, будильник, мяч и барабан. Несмотря на то, что предметы расположены в разном порядке, их состав и количество полностью совпадают. Такие группы называются равными, и между ними ставится знак равенства.
Ответ: Равные группы предметов обозначены знаком $=$.

Не равные группы предметов
На нижнем рисунке в левой рамке находятся: котенок, бабочка, муравей и бегемот. В правой рамке: муравей, бегемот, гусеница и котенок. Эти группы не равны, так как их состав отличается: в левой группе есть бабочка, а в правой группе вместо бабочки находится гусеница. Такие группы называются не равными, и между ними ставится знак неравенства.
Ответ: Не равные группы предметов обозначены знаком $\neq$.

2. Верно ли равенство?

да, нет

$\text{Красный круг} \ \text{Желтый треугольник} \ \text{Зеленый круг} \ \text{Желтый квадрат} \ \text{Синий круг} \ \text{Красная звезда} = \text{Желтый треугольник} \ \text{Красный круг} \ \text{Желтый квадрат} \ \text{Зеленый круг} \ \text{Синий круг} \ \text{Красная звезда}$

Чтобы проверить, верно ли равенство, необходимо сравнить наборы фигур в левой и правой частях. Равенство считается верным, если оба набора состоят из одних и тех же элементов, независимо от их порядка.

В наборе фигур слева находятся:один красный круг, один желтый треугольник, один зеленый круг, один желтый квадрат, один синий круг и одна красная звезда.

В наборе фигур справа находятся:один желтый треугольник, один красный круг, один желтый квадрат, один зеленый круг, один синий круг и одна красная звезда.

Сравнивая состав обоих наборов, мы видим, что они содержат абсолютно одинаковые фигуры в одинаковом количестве. В каждом наборе есть по одному красному кругу, желтому треугольнику, зеленому кругу, желтому квадрату, синему кругу и красной звезде. Порядок расположения фигур отличается (первые две фигуры поменялись местами), но это не влияет на равенство множеств. Это можно сравнить с переместительным свойством сложения в математике, где от перемены мест слагаемых сумма не меняется: $a + b = b + a$.

Так как оба набора фигур полностью идентичны по своему составу, равенство является верным.

Ответ: да.

3 Подбери подходящий знак и обоснуй свой ответ.

$=, \neq$

Первая пара множеств (слева)

Чтобы определить, какой знак поставить между двумя множествами фигур, нужно сравнить их состав.
В левом множестве находятся: один жёлтый квадрат, один зелёный треугольник и один белый круг.
В правом множестве находятся: один жёлтый квадрат, один зелёный треугольник и один белый круг.
Состав множеств полностью совпадает по количеству, форме и цвету фигур. Порядок расположения фигур внутри множества не имеет значения. Следовательно, эти множества равны.

Ответ: $=$

Вторая пара множеств (справа)

Сравним состав второй пары множеств.
В левом множестве находятся: один белый круг, один синий круг и один белый треугольник.
В правом множестве находятся: один синий круг, один белый круг и один жёлтый квадрат.
Состав этих множеств не совпадает. В левом множестве есть белый треугольник, которого нет в правом. В свою очередь, в правом множестве есть жёлтый квадрат, которого нет в левом. Так как множества состоят из разных элементов, они не равны.

Ответ: $\neq$

1 Покажи с помощью счётных палочек, на какие две части можно разбить число 8. А на какие три части?

Покажи с помощью счётных палочек, на какие две части можно разбить число 8.

Чтобы разбить число 8 (представленное 8 счётными палочками) на две части, нужно найти два числа, сумма которых будет равна 8. Каждое такое число будет представлять количество палочек в одной из двух групп.

Вот все возможные уникальные способы разделения:

1. Разделить на группу из 1 палочки и группу из 7 палочек. Проверим: $1 + 7 = 8$.

2. Разделить на группу из 2 палочек и группу из 6 палочек. Проверим: $2 + 6 = 8$.

3. Разделить на группу из 3 палочек и группу из 5 палочек. Проверим: $3 + 5 = 8$.

4. Разделить на две равные группы по 4 палочки в каждой. Проверим: $4 + 4 = 8$.

Другие варианты, такие как 5 и 3, являются повторением уже перечисленных, так как состав групп не меняется.

Ответ: Число 8 можно разбить на две части следующими способами: 1 и 7, 2 и 6, 3 и 5, 4 и 4.

А на какие три части?

Чтобы разбить число 8 на три части, необходимо найти три числа, которые в сумме дают 8. Каждое число будет соответствовать количеству палочек в одной из трёх групп.

Вот все возможные уникальные способы:

1. Две группы по 1 палочке и одна группа из 6 палочек. Проверим: $1 + 1 + 6 = 8$.

2. Одна группа из 1 палочки, вторая из 2 палочек, третья из 5 палочек. Проверим: $1 + 2 + 5 = 8$.

3. Одна группа из 1 палочки, вторая из 3 палочек, третья из 4 палочек. Проверим: $1 + 3 + 4 = 8$.

4. Две группы по 2 палочки и одна группа из 4 палочек. Проверим: $2 + 2 + 4 = 8$.

5. Одна группа из 2 палочек и две группы по 3 палочки. Проверим: $2 + 3 + 3 = 8$.

Ответ: Число 8 можно разбить на три части следующими способами: 1, 1 и 6; 1, 2 и 5; 1, 3 и 4; 2, 2 и 4; 2, 3 и 3.

2 a) Рассмотри домик числа 8. Почему в нём только 4 этажа?

б) Пользуясь домиком числа 8, вычисли.

$6 + 2$ $8 - 6$ $2 + 6$ $8 - 2$

Что ты замечаешь?

а) Рассмотри домик числа 8. Почему в нём только 4 этажа?

В этом домике на каждом этаже живут два числа, сумма которых равна числу на крыше, то есть 8. Этажи показывают все способы разложить число 8 на два слагаемых:

• 1-й этаж: $1 + 7 = 8$
• 2-й этаж: $2 + 6 = 8$
• 3-й этаж: $3 + 5 = 8$
• 4-й этаж: $4 + 4 = 8$

Если бы мы захотели построить пятый этаж, то первым числом было бы 5, а вторым — 3 ($5 + 3 = 8$). Но такая пара чисел (3 и 5) уже есть на третьем этаже. Поскольку от перестановки мест слагаемых сумма не меняется ($3 + 5$ это то же самое, что и $5 + 3$), то новые этажи будут просто повторять предыдущие в другом порядке. Поэтому в домике только 4 этажа с уникальными парами чисел.

Ответ: В домике 4 этажа, потому что он показывает все уникальные пары чисел, которые в сумме дают 8, без повторов.

б) Пользуясь домиком числа 8, вычисли.

На втором этаже домика мы видим пару чисел 2 и 6. Это значит, что их сумма равна 8. Используя эту информацию, решим примеры:

• $6 + 2 = 8$ (посмотрев на второй этаж, мы видим, что 6 и 2 в сумме дают 8).
• $8 - 6 = 2$ (если из суммы 8 вычесть одно число с этажа, 6, то останется второе число, 2).
• $2 + 6 = 8$ (это записано на втором этаже).
• $8 - 2 = 6$ (если из суммы 8 вычесть 2, то останется 6).

Что ты замечаешь?

Можно заметить, что все четыре примера составлены из одних и тех же трёх чисел: 2, 6 и 8. Они показывают, как сложение и вычитание связаны друг с другом. Зная один пример на сложение ($2 + 6 = 8$), можно составить ещё три связанных с ним примера: один на сложение ($6 + 2 = 8$) и два на вычитание ($8 - 2 = 6$ и $8 - 6 = 2$).

Ответ: $6 + 2 = 8$; $8 - 6 = 2$; $2 + 6 = 8$; $8 - 2 = 6$. Я замечаю, что все примеры используют числа 2, 6, 8 и показывают связь между сложением и вычитанием.

3 На какие части разбиты полоски? Какие числа пропущены? Запиши один из столбиков, заполнив пропуски.

8

7 1

8

6 2

8

5 3

$7 + 1 = \Box$

$\Box + \Box = \Box$

$8 - 7 = \Box$

$\Box - \Box = \Box$

$6 + 2 = \Box$

$\Box + \Box = \Box$

$8 - 6 = \Box$

$\Box - \Box = \Box$

$\Box + \Box = \Box$

$\Box + \Box = \Box$

$\Box - \Box = \Box$

$\Box - \Box = \Box$

На какие части разбиты полоски?

Каждая полоска, представляющая число 8, разбита на две части (два слагаемых), которые в сумме дают 8.
Первая полоска разбита на части 7 и 1, так как $7 + 1 = 8$.
Вторая полоска разбита на части 6 и 2, так как $6 + 2 = 8$.
Третья полоска разбита на части 5 и 3, так как $5 + 3 = 8$.

Ответ: Полоски разбиты на части: 7 и 1; 6 и 2; 5 и 3.

Какие числа пропущены? Запиши один из столбиков, заполнив пропуски.

Для каждого разложения числа 8 на слагаемые можно составить четыре связанных примера: два на сложение (используя переместительное свойство) и два на вычитание. Заполним пропуски во всех трех столбиках.

Первый столбик

$7 + 1 = 8$
$1 + 7 = 8$
$8 - 7 = 1$
$8 - 1 = 7$

Второй столбик

$6 + 2 = 8$
$2 + 6 = 8$
$8 - 6 = 2$
$8 - 2 = 6$

Третий столбик

$5 + 3 = 8$
$3 + 5 = 8$
$8 - 5 = 3$
$8 - 3 = 5$

Ответ: Заполненные примеры для всех трех столбиков приведены выше.

1 a) Объясни, как измерили длину, массу, объём. Что общего? Сделай вывод.

$a = 4e$

$m = 6Ш$

$k = 5c$

б) Измерь одно и то же расстояние сначала маленькими шагами, а потом большими. Сделай вывод.

Чтобы измерить величину, можно выбрать мерку (единицу измерения) и узнать, сколько раз она содержится в измеряемой величине.

Чем больше мерка, тем меньше значение измеряемой величины, и наоборот.

Длину отрезка a измерили при помощи мерки e. Мерка уложилась в отрезке 4 раза, поэтому его длина $a = 4e$. Массу мешка м измерили на весах с помощью гирек ш. Для равновесия понадобилось 6 гирек, поэтому масса мешка $м = 6ш$. Объём кастрюли к измерили мерным стаканом с. В кастрюлю вошло 5 стаканов, поэтому её объём $к = 5с$.

Что общего? Общим во всех трёх случаях является сам способ измерения: измеряемую величину (длину, массу, объём) сравнивают с другой однородной величиной, которая выбрана в качестве единицы измерения или мерки (e, ш, с). Результат измерения — это число, которое показывает, сколько раз мерка содержится в измеряемой величине.

Вывод: Чтобы измерить величину, необходимо выбрать единицу измерения (мерку) и определить, во сколько раз измеряемая величина больше этой мерки.

Ответ: Во всех случаях величину измеряли, подсчитывая, сколько раз в неё помещается выбранная мерка (единица измерения). Общее — это сам подход к измерению через сравнение. Вывод: чтобы измерить величину, её нужно сравнить с меркой.

Если измерить одно и то же расстояние (например, длину комнаты) сначала маленькими шагами, а потом большими, то количество шагов будет разным. Маленьких шагов понадобится сделать больше, чтобы пройти то же расстояние, чем больших. Например, расстояние может быть равно 20 маленьким шагам или 12 большим шагам.

Вывод: Чем больше размер единицы измерения (мерки), тем меньшим числом выражается результат измерения. И наоборот: чем меньше мерка, тем большим числом выражается результат.

Ответ: При измерении одного и того же расстояния маленьких шагов получится больше, чем больших. Вывод: чем больше мерка, тем меньше значение измеряемой величины, и наоборот.

2 Сравни по рисункам $а + б$ и $б + а$. Составь и объясни все возможные равенства с числами $а$, $б$ и $с$. Что ты замечаешь?

При сложении и вычитании величин можно составить 4 равенства:

$а + б = с$

$б + а = с$

$с - а = б$

$с - б = а$

При перестановке слагаемых сумма не изменяется.

$а + б = б + а$

Сравни по рисункам a + б и б + а.

Все три рисунка иллюстрируют, что целое $c$ состоит из двух частей: $a$ и $b$.

На первом рисунке мы видим, что общая длина отрезка $c$ получается сложением длин отрезков $a$ и $b$. Неважно, какой отрезок считать первым, $a+b$ или $b+a$, итоговая длина $c$ будет одинаковой.

На втором рисунке весы находятся в равновесии. Это значит, что вес мешка $c$ равен сумме весов мешков $a$ и $b$. Если на чаше весов поменять мешки $a$ и $b$ местами, равновесие не нарушится.

На третьем рисунке в ведро $c$ выливают жидкости из двух сосудов: $a$ и $b$. Общий объем жидкости в ведре будет равен сумме объемов из двух сосудов, независимо от того, в каком порядке их выливать.

Таким образом, на всех примерах мы видим, что результат сложения не зависит от порядка слагаемых.

Ответ: $a + b = b + a$.

Составь и объясни все возможные равенства с числами а, б и с.

Исходя из того, что $a$ и $b$ — это части, а $c$ — это целое, можно составить четыре связанных между собой равенства:

1. $a + b = c$
Это равенство на сложение. Оно показывает, что если сложить две части ($a$ и $b$), то получится целое ($c$).

2. $b + a = c$
Это тоже равенство на сложение. Оно показывает, что от перестановки частей ($a$ и $b$) целое ($c$) не меняется.

3. $c - a = b$
Это равенство на вычитание. Оно показывает, что если из целого ($c$) вычесть одну его часть ($a$), то останется другая часть ($b$).

4. $c - b = a$
Это второе равенство на вычитание. Оно показывает, что если из целого ($c$) вычесть вторую его часть ($b$), то останется первая часть ($a$).

Ответ: $a + b = c$; $b + a = c$; $c - a = b$; $c - b = a$.

Что ты замечаешь?

Можно заметить, что все эти равенства связаны между собой и описывают одну и ту же ситуацию. Главное наблюдение — это переместительное свойство сложения: от перестановки мест слагаемых сумма не меняется ($a + b = b + a$). Также можно заметить, что сложение и вычитание — это взаимообратные действия. Зная целое и одну часть, всегда можно найти другую часть с помощью вычитания.

Ответ: При перестановке слагаемых сумма не изменяется.