Страница 269, часть 1 - гдз по алгебре 11 класс учебник часть 1, 2 Мордкович, Семенов

1. Опишите способы решения неравенства $\sqrt{f(x)} < g(x)$.

Решение иррационального неравенства вида $\sqrt{f(x)} < g(x)$ заключается в переходе к равносильной системе неравенств. Этот переход основан на следующих логических шагах.

Во-первых, для существования арифметического квадратного корня $\sqrt{f(x)}$ в области действительных чисел необходимо, чтобы подкоренное выражение было неотрицательным. Это дает первое обязательное условие, определяющее область допустимых значений (ОДЗ):
$f(x) \ge 0$.

Во-вторых, левая часть неравенства, $\sqrt{f(x)}$, по определению является неотрицательной величиной (то есть $\ge 0$). Для того чтобы неравенство $\sqrt{f(x)} < g(x)$ могло иметь решение, правая часть $g(x)$ должна быть строго больше левой части. Следовательно, $g(x)$ должна быть строго положительной. Отсюда второе обязательное условие:
$g(x) > 0$.
Если это условие не выполняется (то есть $g(x) \le 0$), то неравенство решений не имеет, так как неотрицательное число не может быть меньше отрицательного или равного нулю числа.

При одновременном выполнении двух предыдущих условий ($f(x) \ge 0$ и $g(x) > 0$), обе части исходного неравенства становятся неотрицательными. Это позволяет нам возвести обе части в квадрат, при этом знак неравенства сохранится. Получаем третье условие:
$(\sqrt{f(x)})^2 < (g(x))^2$, что равносильно $f(x) < g(x)^2$.

Таким образом, все значения $x$, удовлетворяющие исходному неравенству, должны удовлетворять всем трем выведенным условиям одновременно. Это приводит нас к следующей системе неравенств:$$\begin{cases}f(x) \ge 0 \\g(x) > 0 \\f(x) < g(x)^2\end{cases}$$Решение данной системы и будет являться решением исходного иррационального неравенства.

Ответ: Неравенство $\sqrt{f(x)} < g(x)$ равносильно системе неравенств:$$\begin{cases}f(x) \ge 0 \\g(x) > 0 \\f(x) < g(x)^2\end{cases}$$

2. Опишите способы решения неравенства $\sqrt{f(x)} > g(x)$.

Решение иррационального неравенства вида $\sqrt{f(x)} > g(x)$ сводится к анализу двух основных случаев, которые зависят от знака выражения $g(x)$ в правой части. Основным условием, которое всегда должно выполняться, является область допустимых значений (ОДЗ) для квадратного корня: подкоренное выражение должно быть неотрицательным, то есть $f(x) \ge 0$.

Рассмотрим два возможных способа решения, которые охватывают все возможные значения $g(x)$.

Случай 1: Правая часть неравенства отрицательна, то есть $g(x) < 0$.

В этом случае левая часть неравенства, $\sqrt{f(x)}$, по определению арифметического квадратного корня, всегда является неотрицательной величиной (при условии, что она определена). Любое неотрицательное число всегда больше любого отрицательного числа. Следовательно, неравенство $\sqrt{f(x)} > g(x)$ будет верным для всех значений $x$, при которых левая часть существует. Условие существования корня — это $f(x) \ge 0$. Таким образом, для этого случая мы получаем систему из двух неравенств:

$ \begin{cases} g(x) < 0 \\ f(x) \ge 0 \end{cases} $

Ответ: Решением в данном случае является множество всех $x$, удовлетворяющих системе $\begin{cases} g(x) < 0 \\ f(x) \ge 0 \end{cases}$.

Случай 2: Правая часть неравенства неотрицательна, то есть $g(x) \ge 0$.

Когда правая часть $g(x)$ неотрицательна, обе части исходного неравенства $\sqrt{f(x)} > g(x)$ также неотрицательны. Это позволяет нам возвести обе части в квадрат, при этом знак неравенства сохранится.

$(\sqrt{f(x)})^2 > (g(x))^2$

$f(x) > (g(x))^2$

В этом случае условие ОДЗ ($f(x) \ge 0$) выполняется автоматически. Поскольку $(g(x))^2$ всегда неотрицательно, из неравенства $f(x) > (g(x))^2$ следует, что $f(x)$ также положительно (и, следовательно, неотрицательно). Поэтому отдельное требование $f(x) \ge 0$ является избыточным. Таким образом, для этого случая получаем систему:

$ \begin{cases} g(x) \ge 0 \\ f(x) > (g(x))^2 \end{cases} $

Ответ: Решением в данном случае является множество всех $x$, удовлетворяющих системе $\begin{cases} g(x) \ge 0 \\ f(x) > (g(x))^2 \end{cases}$.

Объединение случаев.

Полное решение исходного неравенства представляет собой объединение решений, найденных в первом и втором случаях. Это означает, что нужно найти все значения $x$, которые удовлетворяют либо первой системе, либо второй. Математически это записывается как совокупность двух систем.

Следовательно, неравенство $\sqrt{f(x)} > g(x)$ равносильно следующей совокупности:

$ \left[ \begin{array}{l} \begin{cases} g(x) < 0 \\ f(x) \ge 0 \end{cases} \\ \\ \begin{cases} g(x) \ge 0 \\ f(x) > (g(x))^2 \end{cases} \end{array} \right. $

Ответ: Решение неравенства $\sqrt{f(x)} > g(x)$ является объединением решений двух систем: $\begin{cases} g(x) < 0 \\ f(x) \ge 0 \end{cases}$ и $\begin{cases} g(x) \ge 0 \\ f(x) > (g(x))^2 \end{cases}$.