Номер 2, страница 269, часть 1 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

2. Опишите способы решения неравенства $\sqrt{f(x)} > g(x)$.

Решение иррационального неравенства вида $\sqrt{f(x)} > g(x)$ сводится к анализу двух основных случаев, которые зависят от знака выражения $g(x)$ в правой части. Основным условием, которое всегда должно выполняться, является область допустимых значений (ОДЗ) для квадратного корня: подкоренное выражение должно быть неотрицательным, то есть $f(x) \ge 0$.

Рассмотрим два возможных способа решения, которые охватывают все возможные значения $g(x)$.

Случай 1: Правая часть неравенства отрицательна, то есть $g(x) < 0$.

В этом случае левая часть неравенства, $\sqrt{f(x)}$, по определению арифметического квадратного корня, всегда является неотрицательной величиной (при условии, что она определена). Любое неотрицательное число всегда больше любого отрицательного числа. Следовательно, неравенство $\sqrt{f(x)} > g(x)$ будет верным для всех значений $x$, при которых левая часть существует. Условие существования корня — это $f(x) \ge 0$. Таким образом, для этого случая мы получаем систему из двух неравенств:

$ \begin{cases} g(x) < 0 \\ f(x) \ge 0 \end{cases} $

Ответ: Решением в данном случае является множество всех $x$, удовлетворяющих системе $\begin{cases} g(x) < 0 \\ f(x) \ge 0 \end{cases}$.

Случай 2: Правая часть неравенства неотрицательна, то есть $g(x) \ge 0$.

Когда правая часть $g(x)$ неотрицательна, обе части исходного неравенства $\sqrt{f(x)} > g(x)$ также неотрицательны. Это позволяет нам возвести обе части в квадрат, при этом знак неравенства сохранится.

$(\sqrt{f(x)})^2 > (g(x))^2$

$f(x) > (g(x))^2$

В этом случае условие ОДЗ ($f(x) \ge 0$) выполняется автоматически. Поскольку $(g(x))^2$ всегда неотрицательно, из неравенства $f(x) > (g(x))^2$ следует, что $f(x)$ также положительно (и, следовательно, неотрицательно). Поэтому отдельное требование $f(x) \ge 0$ является избыточным. Таким образом, для этого случая получаем систему:

$ \begin{cases} g(x) \ge 0 \\ f(x) > (g(x))^2 \end{cases} $

Ответ: Решением в данном случае является множество всех $x$, удовлетворяющих системе $\begin{cases} g(x) \ge 0 \\ f(x) > (g(x))^2 \end{cases}$.

Объединение случаев.

Полное решение исходного неравенства представляет собой объединение решений, найденных в первом и втором случаях. Это означает, что нужно найти все значения $x$, которые удовлетворяют либо первой системе, либо второй. Математически это записывается как совокупность двух систем.

Следовательно, неравенство $\sqrt{f(x)} > g(x)$ равносильно следующей совокупности:

$ \left[ \begin{array}{l} \begin{cases} g(x) < 0 \\ f(x) \ge 0 \end{cases} \\ \\ \begin{cases} g(x) \ge 0 \\ f(x) > (g(x))^2 \end{cases} \end{array} \right. $

Ответ: Решение неравенства $\sqrt{f(x)} > g(x)$ является объединением решений двух систем: $\begin{cases} g(x) < 0 \\ f(x) \ge 0 \end{cases}$ и $\begin{cases} g(x) \ge 0 \\ f(x) > (g(x))^2 \end{cases}$.