Номер 3, страница 287, часть 1 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

3. Расскажите, как в прямоугольной системе координат $xOy$ вы найдёте решение системы неравенств:

а) $\begin{cases} x - 2y > 0, \\ 2x + y < 0; \end{cases}$

б) $0 < y - x^2 < 4.$

a)

Чтобы найти решение системы неравенств $\begin{cases} x - 2y > 0, \\ 2x + y < 0; \end{cases}$ в прямоугольной системе координат $xOy$, нужно найти на плоскости область, точки которой удовлетворяют обоим неравенствам одновременно. Для этого выполним следующие шаги:

1. Построение граничных линий. Каждое неравенство определяет полуплоскость. Границей каждой полуплоскости является прямая, уравнение которой получается заменой знака неравенства на знак равенства.

• Для первого неравенства $x - 2y > 0$ граничной линией является прямая $x - 2y = 0$, или $y = \frac{1}{2}x$.
• Для второго неравенства $2x + y < 0$ граничной линией является прямая $2x + y = 0$, или $y = -2x$.

Обе прямые проходят через начало координат $(0,0)$. Для построения прямой $y = \frac{1}{2}x$ можно взять вторую точку, например, $(2, 1)$. Для прямой $y = -2x$ можно взять точку $(1, -2)$. Поскольку оба неравенства строгие (содержат знаки $>$ и $<$), сами прямые не входят в решение, и их следует изобразить на графике пунктирными линиями.

2. Определение нужных полуплоскостей. Для каждого неравенства нужно определить, какая из двух полуплоскостей, на которые его граничная прямая делит всю координатную плоскость, является решением.

• Рассмотрим неравенство $x - 2y > 0$, или $y < \frac{1}{2}x$. Решением являются все точки, лежащие ниже прямой $y = \frac{1}{2}x$. Для проверки можно взять контрольную точку, не лежащую на прямой, например, $(1, 0)$. Подставляем в исходное неравенство: $1 - 2 \cdot 0 > 0$, что равносильно $1 > 0$. Это верное утверждение, значит, полуплоскость, содержащая точку $(1, 0)$, является решением.
• Рассмотрим неравенство $2x + y < 0$, или $y < -2x$. Решением являются все точки, лежащие ниже прямой $y = -2x$. Возьмем ту же контрольную точку $(1, 0)$. Подставляем: $2 \cdot 1 + 0 < 0$, что равносильно $2 < 0$. Это неверно, значит, решением является полуплоскость, не содержащая точку $(1, 0)$.

3. Нахождение пересечения областей. Решением системы является пересечение (общая часть) найденных полуплоскостей. В данном случае это область на плоскости, которая находится одновременно и ниже прямой $y = \frac{1}{2}x$, и ниже прямой $y = -2x$.

Ответ: Решением системы является открытый угол с вершиной в начале координат, ограниченный лучами прямых $y = \frac{1}{2}x$ и $y = -2x$, расположенный в четвертой координатной четверти. Границы угла (лучи) не включаются в множество решений.

б)

Двойное неравенство $0 < y - x^2 < 4$ можно представить в виде системы двух неравенств: $$ \begin{cases} y - x^2 > 0 \\ y - x^2 < 4 \end{cases} $$ Для нахождения решения этой системы в системе координат $xOy$ выполним следующие действия:

1. Преобразование неравенств и построение граничных кривых. Выразим $y$ в каждом неравенстве: $$ \begin{cases} y > x^2 \\ y < x^2 + 4 \end{cases} $$ Граничными кривыми для этих неравенств являются параболы:

• Для первого неравенства — парабола $y = x^2$. Это стандартная парабола с вершиной в точке $(0, 0)$ и ветвями, направленными вверх.
• Для второго неравенства — парабола $y = x^2 + 4$. Эта парабола получается из параболы $y = x^2$ сдвигом на 4 единицы вверх вдоль оси $Oy$. Ее вершина находится в точке $(0, 4)$, ветви также направлены вверх.

Поскольку оба неравенства в системе строгие, точки, лежащие на самих параболах, не являются решениями. Поэтому обе параболы следует изобразить пунктирными линиями.

2. Определение областей решения.

• Неравенство $y > x^2$ описывает множество всех точек, расположенных выше параболы $y = x^2$. Это внутренняя область параболы.
• Неравенство $y < x^2 + 4$ описывает множество всех точек, расположенных ниже параболы $y = x^2 + 4$. Это внешняя область данной параболы.

3. Нахождение пересечения областей. Решением системы является пересечение найденных областей. Это множество точек, которые расположены одновременно выше параболы $y = x^2$ и ниже параболы $y = x^2 + 4$.

Ответ: Решением является область на координатной плоскости, заключенная между параболами $y = x^2$ и $y = x^2 + 4$. Границы этой области (сами параболы) не включаются в множество решений.