Номер 6, страница 301, часть 1 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

6. В чём суть метода введения новых переменных при решении системы двух уравнений с двумя переменными?

Метод введения новых переменных при решении систем уравнений — это мощный прием, который позволяет упростить исходную сложную систему, сведя её к более простому, уже известному виду (например, к линейной или квадратной системе).

Суть метода заключается в следующем:

1. Анализ системы. В уравнениях системы находят одно или несколько повторяющихся выражений, которые делают систему сложной для решения стандартными методами (подстановки или сложения).
2. Введение новых переменных. Эти повторяющиеся выражения заменяют новыми переменными (например, $a$ и $b$).
3. Составление новой системы. Исходную систему переписывают с использованием этих новых переменных. В результате получается новая система уравнений, которая, как правило, имеет более простую структуру и легко решается.
4. Решение новой системы. Находят значения введенных переменных (например, $a$ и $b$).
5. Обратная замена. Возвращаются к исходным переменным. Значения, найденные на предыдущем шаге, подставляют в равенства, связывающие старые и новые переменные.
6. Нахождение исходных переменных. Решают получившиеся после обратной замены простые уравнения или системы и находят значения исходных переменных (например, $x$ и $y$).

Рассмотрим на примере:

Дана система уравнений:

$$ \begin{cases} \frac{2}{x-y} + \frac{6}{x+y} = \frac{11}{5} \\ \frac{1}{x-y} - \frac{2}{x+y} = \frac{1}{10} \end{cases} $$

Эта система не является линейной относительно $x$ и $y$. Решать ее в таком виде сложно. Однако можно заметить, что в оба уравнения входят повторяющиеся выражения $\frac{1}{x-y}$ и $\frac{1}{x+y}$.

Шаг 1 и 2: Введем новые переменные. Пусть $a = \frac{1}{x-y}$ и $b = \frac{1}{x+y}$.

Шаг 3: Перепишем систему с новыми переменными. Она примет вид:

$$ \begin{cases} 2a + 6b = \frac{11}{5} \\ a - 2b = \frac{1}{10} \end{cases} $$

Это уже простая линейная система относительно переменных $a$ и $b$.

Шаг 4: Решим новую систему. Из второго уравнения выразим $a$: $a = 2b + \frac{1}{10}$. Подставим это выражение в первое уравнение:

$2(2b + \frac{1}{10}) + 6b = \frac{11}{5}$

$4b + \frac{2}{10} + 6b = \frac{11}{5}$

$10b + \frac{1}{5} = \frac{11}{5}$

$10b = \frac{11}{5} - \frac{1}{5}$

$10b = \frac{10}{5}$

$10b = 2$

$b = \frac{2}{10} = \frac{1}{5}$

Теперь найдем $a$:

$a = 2b + \frac{1}{10} = 2 \cdot \frac{1}{5} + \frac{1}{10} = \frac{2}{5} + \frac{1}{10} = \frac{4}{10} + \frac{1}{10} = \frac{5}{10} = \frac{1}{2}$

Итак, мы нашли, что $a = \frac{1}{2}$ и $b = \frac{1}{5}$.

Шаг 5 и 6: Выполним обратную замену и найдем $x$ и $y$.

$$ \begin{cases} \frac{1}{x-y} = a \\ \frac{1}{x+y} = b \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} \frac{1}{x-y} = \frac{1}{2} \\ \frac{1}{x+y} = \frac{1}{5} \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} x-y = 2 \\ x+y = 5 \end{cases} $$

Получилась еще одна, но уже очень простая линейная система. Сложим два уравнения:

$(x-y) + (x+y) = 2+5$

$2x = 7 \Rightarrow x = 3.5$

Подставим значение $x$ во второе уравнение: $3.5 + y = 5 \Rightarrow y = 1.5$.

Таким образом, решение исходной системы: $(3.5; 1.5)$.

Ответ: Суть метода введения новых переменных состоит в замене сложных повторяющихся выражений в системе уравнений на новые, более простые переменные. Это позволяет преобразовать исходную громоздкую или нелинейную систему в новую, более простую (часто линейную) систему, которую легко решить. После нахождения значений новых переменных производят обратную замену, чтобы найти значения исходных неизвестных.