Номер 4, страница 301, часть 1 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

4. В чём суть метода подстановки при решении системы двух уравнений с двумя переменными?

4. Метод подстановки — это один из основных аналитических методов решения систем уравнений. Его суть заключается в том, чтобы свести систему из двух уравнений с двумя переменными к одному уравнению с одной переменной.

Это достигается выполнением следующего алгоритма:

1. Из одного из уравнений системы (обычно выбирают то, где это сделать проще) выражают одну переменную через другую. Например, выражают $y$ через $x$.

2. Полученное выражение подставляют во второе уравнение системы вместо той переменной, которую выразили. В результате получается уравнение, которое содержит только одну переменную (в нашем примере — только $x$).

3. Решают это новое уравнение и находят значение одной переменной.

4. Подставляют найденное значение переменной в выражение, полученное на первом шаге, и вычисляют значение второй переменной.

5. Записывают ответ в виде пары чисел $(x; y)$.

Пример:

Решим систему уравнений:

$\begin{cases} x + 2y = 5 \\ 3x - y = 8 \end{cases}$

1. Из первого уравнения удобно выразить $x$ через $y$:

$x = 5 - 2y$

2. Подставим это выражение для $x$ во второе уравнение:

$3(5 - 2y) - y = 8$

3. Решим полученное уравнение с одной переменной $y$:

$15 - 6y - y = 8$

$15 - 7y = 8$

$-7y = 8 - 15$

$-7y = -7$

$y = 1$

4. Теперь найдём $x$, подставив значение $y=1$ в выражение из первого шага:

$x = 5 - 2y = 5 - 2 \cdot 1 = 5 - 2 = 3$

5. Решением системы является пара чисел $(3; 1)$.

Ответ: Суть метода подстановки состоит в том, чтобы из одного уравнения системы выразить одну переменную через другую и подставить это выражение во второе уравнение, тем самым получив одно уравнение с одной переменной, которое можно решить.