Номер 5, страница 301, часть 1 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

5. В чём суть метода алгебраического сложения при решении системы двух уравнений с двумя переменными?

Суть метода алгебраического сложения при решении системы двух уравнений с двумя переменными заключается в том, чтобы путём преобразований уравнений системы получить эквивалентную ей систему, в которой коэффициенты при одной из переменных в обоих уравнениях являются противоположными числами. После этого уравнения почленно складываются, что приводит к исключению (элиминации) этой переменной и получению простого линейного уравнения с одной неизвестной, которое легко решается.

Алгоритм решения системы уравнений методом алгебраического сложения состоит из следующих шагов:

• 1. Уравнять модули коэффициентов при одной из переменных. При необходимости умножить одно или оба уравнения системы на такие числовые множители, чтобы коэффициенты при одной из переменных (например, $x$) стали противоположными числами (например, $a$ и $-a$).
• 2. Сложить уравнения. Почленно сложить левые и правые части уравнений системы. В результате этого действия одна из переменных будет исключена.
• 3. Решить полученное уравнение. Найти значение оставшейся переменной.
• 4. Найти вторую переменную. Подставить найденное на предыдущем шаге значение переменной в любое из исходных уравнений системы и решить его относительно второй переменной.
• 5. Записать ответ. Записать найденную пару значений $(x; y)$ в качестве решения системы.

Пример:

Решим систему уравнений: $$ \begin{cases} 2x + 3y = 7 \\ 4x - 5y = 3 \end{cases} $$

1. Уравняем коэффициенты при переменной $x$. Коэффициенты при $x$ равны 2 и 4. Чтобы они стали противоположными, умножим первое уравнение на -2: $$ \begin{cases} -2 \cdot (2x + 3y) = -2 \cdot 7 \\ 4x - 5y = 3 \end{cases} $$ Получим равносильную систему: $$ \begin{cases} -4x - 6y = -14 \\ 4x - 5y = 3 \end{cases} $$ Теперь коэффициенты при $x$ — это -4 и 4, то есть противоположные числа.

2. Сложим уравнения почленно: $$ (-4x - 6y) + (4x - 5y) = -14 + 3 $$

3. Решим полученное уравнение: $$ -4x - 6y + 4x - 5y = -11 $$ $$ -11y = -11 $$ $$ y = 1 $$

4. Найдём значение $x$. Подставим найденное значение $y=1$ в первое уравнение исходной системы: $$ 2x + 3 \cdot 1 = 7 $$ $$ 2x + 3 = 7 $$ $$ 2x = 4 $$ $$ x = 2 $$

5. Запишем ответ. Решением системы является пара чисел $(2; 1)$.

Ответ: Суть метода алгебраического сложения состоит в преобразовании уравнений системы с целью получения противоположных коэффициентов при одной из переменных. Почленное сложение преобразованных уравнений позволяет исключить эту переменную и свести задачу к решению одного линейного уравнения с одной переменной. После нахождения значения одной переменной, его подставляют в любое из исходных уравнений для нахождения значения второй переменной.