Номер 3, страница 301, часть 1 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

3. Какие вы знаете методы решения системы двух уравнений с двумя переменными?

Существует несколько основных методов решения систем двух уравнений с двумя переменными. Наиболее распространенными в школьном курсе алгебры являются графический метод, метод подстановки и метод сложения.

Графический метод

Суть этого метода заключается в построении графиков каждого уравнения системы в одной координатной плоскости. Каждое уравнение с двумя переменными, как правило, задает на плоскости некоторую линию (прямую, параболу, окружность и т.д.). Решением системы будут координаты точки (или точек) пересечения этих графиков, так как именно в этих точках значения переменных $x$ и $y$ удовлетворяют обоим уравнениям одновременно.

Алгоритм:

1. Преобразовать каждое уравнение к виду, удобному для построения графика (например, для линейного уравнения — к виду $y = kx + b$).
2. Построить графики обоих уравнений в одной системе координат.
3. Найти координаты точек пересечения графиков. Эти координаты и будут решением системы.

Например, для системы $\begin{cases} y = 2x - 1 \\ y = -x + 5 \end{cases}$ нужно построить две прямые. Точка их пересечения $(2, 3)$ и будет решением системы.

Недостатком метода является его неточность, особенно если координаты точки пересечения — нецелые числа.

Ответ: Решением системы является точка (или точки) пересечения графиков уравнений.

Метод подстановки

Это аналитический метод, который позволяет найти точное решение. Он особенно удобен, когда в одном из уравнений одна из переменных имеет коэффициент $1$ или $-1$.

Алгоритм:

1. Из одного уравнения системы выразить одну переменную через другую.
2. Полученное выражение подставить во второе уравнение вместо этой переменной. В результате получится уравнение с одной переменной.
3. Решить полученное уравнение и найти значение одной переменной.
4. Подставить найденное значение в выражение из пункта 1 и найти значение второй переменной.

Пример: $\begin{cases} 2x + y = 7 \\ 3x - 2y = 0 \end{cases}$

Из первого уравнения выразим $y$: $y = 7 - 2x$.

Подставим это выражение во второе уравнение: $3x - 2(7 - 2x) = 0$.

Решим его: $3x - 14 + 4x = 0 \implies 7x = 14 \implies x = 2$.

Теперь найдем $y$: $y = 7 - 2 \cdot 2 = 7 - 4 = 3$.

Решение системы: $(2, 3)$.

Ответ: Метод заключается в выражении одной переменной через другую из одного уравнения и подстановке этого выражения во второе уравнение системы.

Метод сложения (или метод алгебраического сложения)

Этот аналитический метод основан на том, что если к обеим частям одного уравнения прибавить соответствующие части другого верного уравнения, то получится новое верное уравнение. Цель метода — исключить одну из переменных.

Алгоритм:

1. При необходимости умножить одно или оба уравнения на такие числа, чтобы коэффициенты при одной из переменных стали противоположными числами.
2. Сложить левые и правые части уравнений. В результате одна из переменных "исчезнет".
3. Решить полученное уравнение с одной переменной.
4. Подставить найденное значение переменной в любое из исходных уравнений и найти значение второй переменной.

Пример: $\begin{cases} 2x + 3y = 7 \\ 4x - y = 7 \end{cases}$

Умножим второе уравнение на $3$, чтобы коэффициенты при $y$ стали противоположными ($3y$ и $-3y$):

$\begin{cases} 2x + 3y = 7 \\ 12x - 3y = 21 \end{cases}$

Сложим уравнения почленно: $(2x + 3y) + (12x - 3y) = 7 + 21 \implies 14x = 28 \implies x = 2$.

Подставим $x=2$ в исходное второе уравнение: $4(2) - y = 7 \implies 8 - y = 7 \implies y = 1$.

Решение системы: $(2, 1)$.

Ответ: Метод состоит в таком преобразовании уравнений системы, чтобы при их почленном сложении одна из переменных исключалась.