Страница 301, часть 1 - гдз по алгебре 11 класс учебник часть 1, 2 Мордкович, Семенов

1. Что называют системой двух уравнений с двумя переменными? Что называют решением такой системы?

Что называют системой двух уравнений с двумя переменными?

Системой двух уравнений с двумя переменными называют два уравнения, объединенных фигурной скобкой, для которых необходимо найти все общие решения. Общим решением является такая пара значений переменных, которая одновременно удовлетворяет и первому, и второму уравнению системы.

В общем виде система двух уравнений с двумя переменными $x$ и $y$ записывается так: $$ \begin{cases} F_1(x, y) = 0 \\ F_2(x, y) = 0 \end{cases} $$ где $F_1(x, y)$ и $F_2(x, y)$ — это выражения, содержащие переменные $x$ и $y$. Фигурная скобка означает, что уравнения рассматриваются совместно, то есть ищется пара чисел $(x, y)$, которая является решением каждого из уравнений.

Например, система двух линейных уравнений с двумя переменными имеет вид: $$ \begin{cases} a_1x + b_1y = c_1 \\ a_2x + b_2y = c_2 \end{cases} $$ где $x$ и $y$ — переменные, а $a_1, b_1, c_1, a_2, b_2, c_2$ — некоторые числа (коэффициенты).

Ответ: Системой двух уравнений с двумя переменными называется совокупность двух уравнений, для которых требуется найти все пары значений переменных, обращающие каждое уравнение в верное равенство.

Что называют решением такой системы?

Решением системы двух уравнений с двумя переменными (например, $x$ и $y$) называют упорядоченную пару чисел $(x_0, y_0)$, которая при подстановке в каждое уравнение системы превращает его в верное числовое равенство.

Другими словами, если пара $(x_0, y_0)$ является решением системы $$ \begin{cases} F_1(x, y) = 0 \\ F_2(x, y) = 0 \end{cases} $$ то должны выполняться оба равенства: $$ F_1(x_0, y_0) = 0 $$ $$ F_2(x_0, y_0) = 0 $$

Например, для системы $$ \begin{cases} x + y = 5 \\ 2x - y = 4 \end{cases} $$ решением является пара чисел $(3, 2)$. Проверим это, подставив $x=3$ и $y=2$ в оба уравнения:

Первое уравнение: $3 + 2 = 5$. Это верное равенство ($5 = 5$).

Второе уравнение: $2 \cdot 3 - 2 = 6 - 2 = 4$. Это также верное равенство ($4 = 4$).

Так как пара $(3, 2)$ удовлетворяет обоим уравнениям, она является решением данной системы.

Ответ: Решением системы двух уравнений с двумя переменными называется упорядоченная пара значений переменных, которая обращает каждое уравнение системы в верное числовое равенство.

2. Какие две системы двух уравнений с двумя переменными называют равносильными?

Две системы двух уравнений с двумя переменными называются равносильными (или эквивалентными), если они имеют одинаковое множество решений.

Это означает, что каждая пара чисел $(x, y)$, являющаяся решением первой системы, также является решением второй системы, и, наоборот, каждое решение второй системы является решением первой.

Рассмотрим две общие системы уравнений с переменными $x$ и $y$:

Система 1:

Система 2:

Эти две системы будут равносильны, если множество всех пар $(x_0, y_0)$, которые являются решениями Системы 1, в точности совпадает с множеством всех пар $(x_0, y_0)$, которые являются решениями Системы 2.

Также важно отметить, что если обе системы не имеют решений (то есть их множества решений пусты), они по определению считаются равносильными.

Пример:

Системы уравнений:

являются равносильными, так как обе имеют одно и то же единственное решение — пару чисел $(3, 2)$.

Ответ: Две системы двух уравнений с двумя переменными называют равносильными, если множества их решений полностью совпадают. Это включает и случай, когда обе системы не имеют решений.

3. Какие вы знаете методы решения системы двух уравнений с двумя переменными?

Существует несколько основных методов решения систем двух уравнений с двумя переменными. Наиболее распространенными в школьном курсе алгебры являются графический метод, метод подстановки и метод сложения.

Графический метод

Суть этого метода заключается в построении графиков каждого уравнения системы в одной координатной плоскости. Каждое уравнение с двумя переменными, как правило, задает на плоскости некоторую линию (прямую, параболу, окружность и т.д.). Решением системы будут координаты точки (или точек) пересечения этих графиков, так как именно в этих точках значения переменных $x$ и $y$ удовлетворяют обоим уравнениям одновременно.

Алгоритм:

1. Преобразовать каждое уравнение к виду, удобному для построения графика (например, для линейного уравнения — к виду $y = kx + b$).
2. Построить графики обоих уравнений в одной системе координат.
3. Найти координаты точек пересечения графиков. Эти координаты и будут решением системы.

Например, для системы $\begin{cases} y = 2x - 1 \\ y = -x + 5 \end{cases}$ нужно построить две прямые. Точка их пересечения $(2, 3)$ и будет решением системы.

Недостатком метода является его неточность, особенно если координаты точки пересечения — нецелые числа.

Ответ: Решением системы является точка (или точки) пересечения графиков уравнений.

Метод подстановки

Это аналитический метод, который позволяет найти точное решение. Он особенно удобен, когда в одном из уравнений одна из переменных имеет коэффициент $1$ или $-1$.

Алгоритм:

1. Из одного уравнения системы выразить одну переменную через другую.
2. Полученное выражение подставить во второе уравнение вместо этой переменной. В результате получится уравнение с одной переменной.
3. Решить полученное уравнение и найти значение одной переменной.
4. Подставить найденное значение в выражение из пункта 1 и найти значение второй переменной.

Пример: $\begin{cases} 2x + y = 7 \\ 3x - 2y = 0 \end{cases}$

Из первого уравнения выразим $y$: $y = 7 - 2x$.

Подставим это выражение во второе уравнение: $3x - 2(7 - 2x) = 0$.

Решим его: $3x - 14 + 4x = 0 \implies 7x = 14 \implies x = 2$.

Теперь найдем $y$: $y = 7 - 2 \cdot 2 = 7 - 4 = 3$.

Решение системы: $(2, 3)$.

Ответ: Метод заключается в выражении одной переменной через другую из одного уравнения и подстановке этого выражения во второе уравнение системы.

Метод сложения (или метод алгебраического сложения)

Этот аналитический метод основан на том, что если к обеим частям одного уравнения прибавить соответствующие части другого верного уравнения, то получится новое верное уравнение. Цель метода — исключить одну из переменных.

Алгоритм:

1. При необходимости умножить одно или оба уравнения на такие числа, чтобы коэффициенты при одной из переменных стали противоположными числами.
2. Сложить левые и правые части уравнений. В результате одна из переменных "исчезнет".
3. Решить полученное уравнение с одной переменной.
4. Подставить найденное значение переменной в любое из исходных уравнений и найти значение второй переменной.

Пример: $\begin{cases} 2x + 3y = 7 \\ 4x - y = 7 \end{cases}$

Умножим второе уравнение на $3$, чтобы коэффициенты при $y$ стали противоположными ($3y$ и $-3y$):

$\begin{cases} 2x + 3y = 7 \\ 12x - 3y = 21 \end{cases}$

Сложим уравнения почленно: $(2x + 3y) + (12x - 3y) = 7 + 21 \implies 14x = 28 \implies x = 2$.

Подставим $x=2$ в исходное второе уравнение: $4(2) - y = 7 \implies 8 - y = 7 \implies y = 1$.

Решение системы: $(2, 1)$.

Ответ: Метод состоит в таком преобразовании уравнений системы, чтобы при их почленном сложении одна из переменных исключалась.

4. В чём суть метода подстановки при решении системы двух уравнений с двумя переменными?

4. Метод подстановки — это один из основных аналитических методов решения систем уравнений. Его суть заключается в том, чтобы свести систему из двух уравнений с двумя переменными к одному уравнению с одной переменной.

Это достигается выполнением следующего алгоритма:

1. Из одного из уравнений системы (обычно выбирают то, где это сделать проще) выражают одну переменную через другую. Например, выражают $y$ через $x$.

2. Полученное выражение подставляют во второе уравнение системы вместо той переменной, которую выразили. В результате получается уравнение, которое содержит только одну переменную (в нашем примере — только $x$).

3. Решают это новое уравнение и находят значение одной переменной.

4. Подставляют найденное значение переменной в выражение, полученное на первом шаге, и вычисляют значение второй переменной.

5. Записывают ответ в виде пары чисел $(x; y)$.

Пример:

Решим систему уравнений:

$\begin{cases} x + 2y = 5 \\ 3x - y = 8 \end{cases}$

1. Из первого уравнения удобно выразить $x$ через $y$:

$x = 5 - 2y$

2. Подставим это выражение для $x$ во второе уравнение:

$3(5 - 2y) - y = 8$

3. Решим полученное уравнение с одной переменной $y$:

$15 - 6y - y = 8$

$15 - 7y = 8$

$-7y = 8 - 15$

$-7y = -7$

$y = 1$

4. Теперь найдём $x$, подставив значение $y=1$ в выражение из первого шага:

$x = 5 - 2y = 5 - 2 \cdot 1 = 5 - 2 = 3$

5. Решением системы является пара чисел $(3; 1)$.

Ответ: Суть метода подстановки состоит в том, чтобы из одного уравнения системы выразить одну переменную через другую и подставить это выражение во второе уравнение, тем самым получив одно уравнение с одной переменной, которое можно решить.

5. В чём суть метода алгебраического сложения при решении системы двух уравнений с двумя переменными?

Суть метода алгебраического сложения при решении системы двух уравнений с двумя переменными заключается в том, чтобы путём преобразований уравнений системы получить эквивалентную ей систему, в которой коэффициенты при одной из переменных в обоих уравнениях являются противоположными числами. После этого уравнения почленно складываются, что приводит к исключению (элиминации) этой переменной и получению простого линейного уравнения с одной неизвестной, которое легко решается.

Алгоритм решения системы уравнений методом алгебраического сложения состоит из следующих шагов:

• 1. Уравнять модули коэффициентов при одной из переменных. При необходимости умножить одно или оба уравнения системы на такие числовые множители, чтобы коэффициенты при одной из переменных (например, $x$) стали противоположными числами (например, $a$ и $-a$).
• 2. Сложить уравнения. Почленно сложить левые и правые части уравнений системы. В результате этого действия одна из переменных будет исключена.
• 3. Решить полученное уравнение. Найти значение оставшейся переменной.
• 4. Найти вторую переменную. Подставить найденное на предыдущем шаге значение переменной в любое из исходных уравнений системы и решить его относительно второй переменной.
• 5. Записать ответ. Записать найденную пару значений $(x; y)$ в качестве решения системы.

Пример:

Решим систему уравнений: $$ \begin{cases} 2x + 3y = 7 \\ 4x - 5y = 3 \end{cases} $$

1. Уравняем коэффициенты при переменной $x$. Коэффициенты при $x$ равны 2 и 4. Чтобы они стали противоположными, умножим первое уравнение на -2: $$ \begin{cases} -2 \cdot (2x + 3y) = -2 \cdot 7 \\ 4x - 5y = 3 \end{cases} $$ Получим равносильную систему: $$ \begin{cases} -4x - 6y = -14 \\ 4x - 5y = 3 \end{cases} $$ Теперь коэффициенты при $x$ — это -4 и 4, то есть противоположные числа.

2. Сложим уравнения почленно: $$ (-4x - 6y) + (4x - 5y) = -14 + 3 $$

3. Решим полученное уравнение: $$ -4x - 6y + 4x - 5y = -11 $$ $$ -11y = -11 $$ $$ y = 1 $$

4. Найдём значение $x$. Подставим найденное значение $y=1$ в первое уравнение исходной системы: $$ 2x + 3 \cdot 1 = 7 $$ $$ 2x + 3 = 7 $$ $$ 2x = 4 $$ $$ x = 2 $$

5. Запишем ответ. Решением системы является пара чисел $(2; 1)$.

Ответ: Суть метода алгебраического сложения состоит в преобразовании уравнений системы с целью получения противоположных коэффициентов при одной из переменных. Почленное сложение преобразованных уравнений позволяет исключить эту переменную и свести задачу к решению одного линейного уравнения с одной переменной. После нахождения значения одной переменной, его подставляют в любое из исходных уравнений для нахождения значения второй переменной.

6. В чём суть метода введения новых переменных при решении системы двух уравнений с двумя переменными?

Метод введения новых переменных при решении систем уравнений — это мощный прием, который позволяет упростить исходную сложную систему, сведя её к более простому, уже известному виду (например, к линейной или квадратной системе).

Суть метода заключается в следующем:

1. Анализ системы. В уравнениях системы находят одно или несколько повторяющихся выражений, которые делают систему сложной для решения стандартными методами (подстановки или сложения).
2. Введение новых переменных. Эти повторяющиеся выражения заменяют новыми переменными (например, $a$ и $b$).
3. Составление новой системы. Исходную систему переписывают с использованием этих новых переменных. В результате получается новая система уравнений, которая, как правило, имеет более простую структуру и легко решается.
4. Решение новой системы. Находят значения введенных переменных (например, $a$ и $b$).
5. Обратная замена. Возвращаются к исходным переменным. Значения, найденные на предыдущем шаге, подставляют в равенства, связывающие старые и новые переменные.
6. Нахождение исходных переменных. Решают получившиеся после обратной замены простые уравнения или системы и находят значения исходных переменных (например, $x$ и $y$).

Рассмотрим на примере:

Дана система уравнений:

$$ \begin{cases} \frac{2}{x-y} + \frac{6}{x+y} = \frac{11}{5} \\ \frac{1}{x-y} - \frac{2}{x+y} = \frac{1}{10} \end{cases} $$

Эта система не является линейной относительно $x$ и $y$. Решать ее в таком виде сложно. Однако можно заметить, что в оба уравнения входят повторяющиеся выражения $\frac{1}{x-y}$ и $\frac{1}{x+y}$.

Шаг 1 и 2: Введем новые переменные. Пусть $a = \frac{1}{x-y}$ и $b = \frac{1}{x+y}$.

Шаг 3: Перепишем систему с новыми переменными. Она примет вид:

$$ \begin{cases} 2a + 6b = \frac{11}{5} \\ a - 2b = \frac{1}{10} \end{cases} $$

Это уже простая линейная система относительно переменных $a$ и $b$.

Шаг 4: Решим новую систему. Из второго уравнения выразим $a$: $a = 2b + \frac{1}{10}$. Подставим это выражение в первое уравнение:

$2(2b + \frac{1}{10}) + 6b = \frac{11}{5}$

$4b + \frac{2}{10} + 6b = \frac{11}{5}$

$10b + \frac{1}{5} = \frac{11}{5}$

$10b = \frac{11}{5} - \frac{1}{5}$

$10b = \frac{10}{5}$

$10b = 2$

$b = \frac{2}{10} = \frac{1}{5}$

Теперь найдем $a$:

$a = 2b + \frac{1}{10} = 2 \cdot \frac{1}{5} + \frac{1}{10} = \frac{2}{5} + \frac{1}{10} = \frac{4}{10} + \frac{1}{10} = \frac{5}{10} = \frac{1}{2}$

Итак, мы нашли, что $a = \frac{1}{2}$ и $b = \frac{1}{5}$.

Шаг 5 и 6: Выполним обратную замену и найдем $x$ и $y$.

$$ \begin{cases} \frac{1}{x-y} = a \\ \frac{1}{x+y} = b \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} \frac{1}{x-y} = \frac{1}{2} \\ \frac{1}{x+y} = \frac{1}{5} \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} x-y = 2 \\ x+y = 5 \end{cases} $$

Получилась еще одна, но уже очень простая линейная система. Сложим два уравнения:

$(x-y) + (x+y) = 2+5$

$2x = 7 \Rightarrow x = 3.5$

Подставим значение $x$ во второе уравнение: $3.5 + y = 5 \Rightarrow y = 1.5$.

Таким образом, решение исходной системы: $(3.5; 1.5)$.

Ответ: Суть метода введения новых переменных состоит в замене сложных повторяющихся выражений в системе уравнений на новые, более простые переменные. Это позволяет преобразовать исходную громоздкую или нелинейную систему в новую, более простую (часто линейную) систему, которую легко решить. После нахождения значений новых переменных производят обратную замену, чтобы найти значения исходных неизвестных.