Номер 1, страница 301, часть 1 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

1. Что называют системой двух уравнений с двумя переменными? Что называют решением такой системы?

Что называют системой двух уравнений с двумя переменными?

Системой двух уравнений с двумя переменными называют два уравнения, объединенных фигурной скобкой, для которых необходимо найти все общие решения. Общим решением является такая пара значений переменных, которая одновременно удовлетворяет и первому, и второму уравнению системы.

В общем виде система двух уравнений с двумя переменными $x$ и $y$ записывается так: $$ \begin{cases} F_1(x, y) = 0 \\ F_2(x, y) = 0 \end{cases} $$ где $F_1(x, y)$ и $F_2(x, y)$ — это выражения, содержащие переменные $x$ и $y$. Фигурная скобка означает, что уравнения рассматриваются совместно, то есть ищется пара чисел $(x, y)$, которая является решением каждого из уравнений.

Например, система двух линейных уравнений с двумя переменными имеет вид: $$ \begin{cases} a_1x + b_1y = c_1 \\ a_2x + b_2y = c_2 \end{cases} $$ где $x$ и $y$ — переменные, а $a_1, b_1, c_1, a_2, b_2, c_2$ — некоторые числа (коэффициенты).

Ответ: Системой двух уравнений с двумя переменными называется совокупность двух уравнений, для которых требуется найти все пары значений переменных, обращающие каждое уравнение в верное равенство.

Что называют решением такой системы?

Решением системы двух уравнений с двумя переменными (например, $x$ и $y$) называют упорядоченную пару чисел $(x_0, y_0)$, которая при подстановке в каждое уравнение системы превращает его в верное числовое равенство.

Другими словами, если пара $(x_0, y_0)$ является решением системы $$ \begin{cases} F_1(x, y) = 0 \\ F_2(x, y) = 0 \end{cases} $$ то должны выполняться оба равенства: $$ F_1(x_0, y_0) = 0 $$ $$ F_2(x_0, y_0) = 0 $$

Например, для системы $$ \begin{cases} x + y = 5 \\ 2x - y = 4 \end{cases} $$ решением является пара чисел $(3, 2)$. Проверим это, подставив $x=3$ и $y=2$ в оба уравнения:

Первое уравнение: $3 + 2 = 5$. Это верное равенство ($5 = 5$).

Второе уравнение: $2 \cdot 3 - 2 = 6 - 2 = 4$. Это также верное равенство ($4 = 4$).

Так как пара $(3, 2)$ удовлетворяет обоим уравнениям, она является решением данной системы.

Ответ: Решением системы двух уравнений с двумя переменными называется упорядоченная пара значений переменных, которая обращает каждое уравнение системы в верное числовое равенство.