Номер 2, страница 312, часть 1 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

2. Как числовая плоскость «помогает» при решении систем уравнений и неравенств?

Числовая (или координатная) плоскость — это мощный инструмент для визуализации и решения систем уравнений и неравенств. Ее основная идея заключается в том, что каждой паре чисел $(x, y)$ соответствует единственная точка на плоскости, и наоборот. Это позволяет перевести алгебраические выражения в геометрические образы.

Каждое уравнение с двумя переменными, например, $F(x, y) = 0$, задает на числовой плоскости определенное множество точек, которое чаще всего представляет собой некоторую линию или кривую. Координаты любой точки, лежащей на этой кривой, являются решением данного уравнения.

Когда мы решаем систему из двух уравнений с двумя переменными, например:

$$ \begin{cases} f(x, y) = 0 \\ g(x, y) = 0 \end{cases} $$

мы ищем такие пары чисел $(x, y)$, которые удовлетворяют обоим уравнениям одновременно. На языке геометрии это означает, что мы ищем точки, которые принадлежат как графику первого уравнения, так и графику второго. Следовательно, решениями системы уравнений являются координаты точек пересечения их графиков.

Пример:

Рассмотрим систему линейных уравнений:

$$ \begin{cases} y = x + 1 \\ y = -2x + 7 \end{cases} $$

Чтобы решить ее графически, нужно:

1. Построить на числовой плоскости график первого уравнения $y = x + 1$ (прямая).
2. Построить на той же плоскости график второго уравнения $y = -2x + 7$ (также прямая).
3. Найти точку пересечения этих двух прямых. В данном случае они пересекутся в точке с координатами $(2, 3)$.

Эта пара чисел и является решением системы. Графический метод не только помогает найти решение, но и наглядно показывает, сколько решений имеет система:

• Одна точка пересечения — одно решение.
• Прямые параллельны и не совпадают — решений нет.
• Прямые совпадают — бесконечно много решений.

Ответ: При решении систем уравнений числовая плоскость помогает визуализировать каждое уравнение в виде графика (линии или кривой). Решениями системы являются координаты точек пересечения этих графиков.

Неравенство с двумя переменными, например, $F(x, y) > 0$ или $F(x, y) \le 0$, задает на числовой плоскости уже не линию, а целую область (чаще всего полуплоскость). Границей этой области является кривая, задаваемая соответствующим равенством $F(x, y) = 0$.

Решением системы неравенств, например:

$$ \begin{cases} f(x, y) \ge 0 \\ g(x, y) < 0 \end{cases} $$

является множество всех точек $(x, y)$, координаты которых удовлетворяют каждому неравенству системы. Геометрически это означает, что мы ищем область на плоскости, которая является пересечением (общей частью) областей, задаваемых каждым неравенством в отдельности.

Пример:

Рассмотрим систему неравенств:

$$ \begin{cases} y \ge x \\ y \le 3 \end{cases} $$

Для ее графического решения необходимо:

1. Построить граничную прямую $y = x$. Неравенству $y \ge x$ соответствует область на этой прямой и выше нее.
2. Построить граничную прямую $y = 3$. Неравенству $y \le 3$ соответствует область на этой прямой и ниже нее.
3. Найти пересечение этих двух областей. Это будет бесконечная область (угол), расположенная между лучами, выходящими из точки $(3, 3)$.

Таким образом, числовая плоскость позволяет наглядно изобразить множество решений системы неравенств, которое обычно представляет собой некоторую геометрическую фигуру (многоугольник, угол, круг и т.д.).

Ответ: При решении систем неравенств числовая плоскость помогает представить каждое неравенство в виде области на плоскости. Решением системы является пересечение (общая часть) этих областей.