Страница 312, часть 1 - гдз по алгебре 11 класс учебник часть 1, 2 Мордкович, Семенов

1. Применение свойств функций для решения уравнений (неравенств).

Решение многих уравнений и неравенств, которые трудно или невозможно решить стандартными алгебраическими методами, можно найти, исследуя свойства функций, входящих в их состав. Основные свойства, которые при этом используются, — это монотонность, ограниченность, четность/нечетность и периодичность.

Использование монотонности функции

Монотонная функция — это функция, которая на всей своей области определения только возрастает или только убывает.
Свойство для уравнений: Если функция $f(x)$ строго монотонна на некотором промежутке, то уравнение $f(x) = C$ (где $C$ — константа) может иметь на этом промежутке не более одного корня. Аналогично, если $f(x)$ — строго возрастающая, а $g(x)$ — строго убывающая, то уравнение $f(x) = g(x)$ также имеет не более одного корня.
Метод решения:
1. Привести уравнение к виду $f(x) = C$ или $f(x) = g(x)$.
2. Доказать монотонность функции (или функций).
3. Подобрать один корень (например, просто подставив целые числа).
4. Сделать вывод, что благодаря монотонности других корней нет.

Пример 1. Решить уравнение $ \sqrt{x-1} + \sqrt{x+2} + x^2 = 7 $.
Решение:
Область допустимых значений (ОДЗ) определяется системой неравенств: $ x-1 \ge 0 $ и $ x+2 \ge 0 $, откуда $ x \ge 1 $.
Рассмотрим функцию $ f(x) = \sqrt{x-1} + \sqrt{x+2} + x^2 $. Эта функция определена на промежутке $ [1, +\infty) $.
Функции $ y_1 = \sqrt{x-1} $, $ y_2 = \sqrt{x+2} $ и $ y_3 = x^2 $ являются возрастающими на промежутке $ [1, +\infty) $. Сумма возрастающих функций также является возрастающей функцией. Следовательно, $ f(x) $ — строго возрастающая функция на своей ОДЗ.
Это означает, что уравнение $ f(x) = 7 $ может иметь не более одного корня.
Попробуем подобрать корень. Проверим $ x=2 $:
$ \sqrt{2-1} + \sqrt{2+2} + 2^2 = \sqrt{1} + \sqrt{4} + 4 = 1 + 2 + 4 = 7 $.
Равенство верное, значит, $ x=2 $ является корнем уравнения.
Так как функция $ f(x) $ строго возрастает, этот корень — единственный.
Ответ: $ x=2 $.

Свойство для неравенств: Если функция $ f(x) $ строго возрастает, то неравенство $ f(a) > f(b) $ равносильно неравенству $ a > b $. Если функция $ f(x) $ строго убывает, то неравенство $ f(a) > f(b) $ равносильно неравенству $ a < b $.

Пример 2. Решить неравенство $ \log_3(x+2) + x > 2 $.
Решение:
ОДЗ: $ x+2 > 0 \implies x > -2 $.
Рассмотрим функцию $ f(x) = \log_3(x+2) + x $. Она определена на $ (-2, +\infty) $.
Функция $ y_1 = \log_3(x+2) $ является возрастающей, функция $ y_2 = x $ также является возрастающей. Их сумма $ f(x) $ — строго возрастающая функция.
Найдем значение $ a $, при котором $ f(a) = 2 $.
$ \log_3(a+2) + a = 2 $.
Методом подбора находим, что $ a=1 $: $ \log_3(1+2) + 1 = \log_3(3) + 1 = 1 + 1 = 2 $.
Таким образом, исходное неравенство можно переписать в виде $ f(x) > f(1) $.
Поскольку $ f(x) $ — строго возрастающая функция, это неравенство равносильно неравенству $ x > 1 $.
Учитывая ОДЗ ($ x > -2 $), получаем окончательное решение.
Ответ: $ x \in (1, +\infty) $.

Использование ограниченности функции

Многие функции имеют ограниченную область значений. Например, $ -1 \le \sin x \le 1 $, $ \cos x \le 1 $, $ a^{x} > 0 $, $ \sqrt{x} \ge 0 $, $ x^2 \ge 0 $.
Свойство для уравнений: Если дано уравнение $ f(x) = g(x) $, и известно, что на всей ОДЗ выполняются неравенства $ f(x) \le A $ и $ g(x) \ge A $ для некоторого числа $ A $, то равенство возможно тогда и только тогда, когда $ f(x) $ и $ g(x) $ одновременно равны $ A $. То есть уравнение равносильно системе:
$ \begin{cases} f(x) = A \\ g(x) = A \end{cases} $

Пример 3. Решить уравнение $ \cos(x) = x^2 + 1 $.
Решение:
Оценим левую и правую части уравнения.
Для левой части известно, что $ \cos(x) \le 1 $ для любого $ x $.
Для правой части: $ x^2 \ge 0 $, следовательно, $ x^2+1 \ge 1 $ для любого $ x $.
Исходное равенство $ \cos(x) = x^2 + 1 $ возможно только в том случае, если обе части одновременно равны 1.
Получаем систему уравнений:
$ \begin{cases} \cos(x) = 1 \\ x^2 + 1 = 1 \end{cases} $
Из второго уравнения находим $ x^2=0 $, откуда $ x=0 $.
Подставляем это значение в первое уравнение: $ \cos(0) = 1 $. Равенство верное.
Таким образом, $ x=0 $ является единственным решением системы и, следовательно, исходного уравнения.
Ответ: $ x=0 $.

Свойство для неравенств: Если нужно решить неравенство $ f(x) \ge g(x) $, и известно, что $ f(x) \le A $ и $ g(x) \ge B $ при $ A < B $, то неравенство не имеет решений.

Пример 4. Решить неравенство $ \sin^7(x) - \cos^4(x) \ge 2 $.
Решение:
Оценим левую часть неравенства. Обозначим ее $ L(x) = \sin^7(x) - \cos^4(x) $.
Максимальное значение функции $ \sin(x) $ равно 1, значит $ \sin^7(x) \le 1 $.
Минимальное значение функции $ \cos^4(x) $ равно 0 (т.к. степень четная), значит $ \cos^4(x) \ge 0 $, а $ -\cos^4(x) \le 0 $.
Сложив эти оценки, получим: $ L(x) = \sin^7(x) + (-\cos^4(x)) \le 1 + 0 = 1 $.
Таким образом, левая часть неравенства всегда не больше 1.
Исходное неравенство требует, чтобы левая часть была больше или равна 2.
Неравенство $ L(x) \ge 2 $ не может выполняться ни при каких значениях $ x $, так как $ L(x) \le 1 $.
Ответ: решений нет.

Использование четности/нечетности функции

Функция $ f(x) $ называется четной, если ее область определения симметрична относительно нуля и $ f(-x) = f(x) $. График такой функции симметричен относительно оси Oy.
Функция $ f(x) $ называется нечетной, если ее область определения симметрична относительно нуля и $ f(-x) = -f(x) $. График такой функции симметричен относительно начала координат.
Свойство: Если уравнение $ f(x)=0 $ составлено из четных функций, и $ x_0 $ является его корнем, то $ -x_0 $ также будет корнем. Это позволяет сократить поиск, рассматривая только $ x \ge 0 $.

Пример 5. Проанализировать количество корней уравнения $ |x| + x^4 = \cos(x) $.
Решение:
Рассмотрим функции в левой и правой частях.
$ f(x) = |x| + x^4 $. Проверим на четность: $ f(-x) = |-x| + (-x)^4 = |x| + x^4 = f(x) $. Функция четная.
$ g(x) = \cos(x) $. Это известная четная функция: $ g(-x) = \cos(-x) = \cos(x) = g(x) $.
Так как обе части уравнения являются четными функциями, то если $ x_0 $ — корень уравнения, то и $ -x_0 $ также будет корнем. Это позволяет нам искать только неотрицательные корни ($ x \ge 0 $).
Для $ x \ge 0 $ уравнение принимает вид: $ x + x^4 = \cos(x) $.
Перенесем все в одну сторону: $ h(x) = x + x^4 - \cos(x) = 0 $.
Исследуем функцию $ h(x) $ на монотонность при $ x \ge 0 $. Найдем производную:
$ h'(x) = (x + x^4 - \cos(x))' = 1 + 4x^3 + \sin(x) $.
При $ x \ge 0 $ имеем $ 4x^3 \ge 0 $, а $ \sin(x) \ge -1 $.
Тогда $ h'(x) = 1 + 4x^3 + \sin(x) \ge 1 + 0 + (-1) = 0 $.
Равенство $ h'(x)=0 $ возможно, только если $ 1+4x^3=1 $ и $ \sin(x)=-1 $ одновременно, что невозможно. Значит, $ h'(x) > 0 $ для всех $ x \ge 0 $.
Следовательно, функция $ h(x) $ является строго возрастающей на промежутке $ [0, +\infty) $.
Значит, уравнение $ h(x)=0 $ может иметь не более одного неотрицательного корня.
Проверим значения на концах: $ h(0) = 0+0-\cos(0) = -1 < 0 $.
$ h(\pi/2) = \pi/2 + (\pi/2)^4 - \cos(\pi/2) = \pi/2 + (\pi/2)^4 > 0 $.
Так как функция $ h(x) $ непрерывна и возрастает, и принимает значения разного знака на отрезке $ [0, \pi/2] $, она имеет ровно один корень $ x_0 $ на этом отрезке.
Мы нашли один положительный корень $ x_0 $. Поскольку исходное уравнение составлено из четных функций, то $ -x_0 $ также является корнем. Проверим $ x=0 $: $ |0|+0^4 = 0 $, а $ \cos(0)=1 $. $ 0 \ne 1 $, так что $ x=0 $ не корень.
Таким образом, уравнение имеет ровно два корня: $ x_0 $ и $ -x_0 $.
Ответ: Уравнение имеет ровно два корня, которые являются противоположными числами ($ x_0 $ и $ -x_0 $).

2. Как числовая плоскость «помогает» при решении систем уравнений и неравенств?

Числовая (или координатная) плоскость — это мощный инструмент для визуализации и решения систем уравнений и неравенств. Ее основная идея заключается в том, что каждой паре чисел $(x, y)$ соответствует единственная точка на плоскости, и наоборот. Это позволяет перевести алгебраические выражения в геометрические образы.

Каждое уравнение с двумя переменными, например, $F(x, y) = 0$, задает на числовой плоскости определенное множество точек, которое чаще всего представляет собой некоторую линию или кривую. Координаты любой точки, лежащей на этой кривой, являются решением данного уравнения.

Когда мы решаем систему из двух уравнений с двумя переменными, например:

$$ \begin{cases} f(x, y) = 0 \\ g(x, y) = 0 \end{cases} $$

мы ищем такие пары чисел $(x, y)$, которые удовлетворяют обоим уравнениям одновременно. На языке геометрии это означает, что мы ищем точки, которые принадлежат как графику первого уравнения, так и графику второго. Следовательно, решениями системы уравнений являются координаты точек пересечения их графиков.

Пример:

Рассмотрим систему линейных уравнений:

$$ \begin{cases} y = x + 1 \\ y = -2x + 7 \end{cases} $$

Чтобы решить ее графически, нужно:

1. Построить на числовой плоскости график первого уравнения $y = x + 1$ (прямая).
2. Построить на той же плоскости график второго уравнения $y = -2x + 7$ (также прямая).
3. Найти точку пересечения этих двух прямых. В данном случае они пересекутся в точке с координатами $(2, 3)$.

Эта пара чисел и является решением системы. Графический метод не только помогает найти решение, но и наглядно показывает, сколько решений имеет система:

• Одна точка пересечения — одно решение.
• Прямые параллельны и не совпадают — решений нет.
• Прямые совпадают — бесконечно много решений.

Ответ: При решении систем уравнений числовая плоскость помогает визуализировать каждое уравнение в виде графика (линии или кривой). Решениями системы являются координаты точек пересечения этих графиков.

Неравенство с двумя переменными, например, $F(x, y) > 0$ или $F(x, y) \le 0$, задает на числовой плоскости уже не линию, а целую область (чаще всего полуплоскость). Границей этой области является кривая, задаваемая соответствующим равенством $F(x, y) = 0$.

Решением системы неравенств, например:

$$ \begin{cases} f(x, y) \ge 0 \\ g(x, y) < 0 \end{cases} $$

является множество всех точек $(x, y)$, координаты которых удовлетворяют каждому неравенству системы. Геометрически это означает, что мы ищем область на плоскости, которая является пересечением (общей частью) областей, задаваемых каждым неравенством в отдельности.

Пример:

Рассмотрим систему неравенств:

$$ \begin{cases} y \ge x \\ y \le 3 \end{cases} $$

Для ее графического решения необходимо:

1. Построить граничную прямую $y = x$. Неравенству $y \ge x$ соответствует область на этой прямой и выше нее.
2. Построить граничную прямую $y = 3$. Неравенству $y \le 3$ соответствует область на этой прямой и ниже нее.
3. Найти пересечение этих двух областей. Это будет бесконечная область (угол), расположенная между лучами, выходящими из точки $(3, 3)$.

Таким образом, числовая плоскость позволяет наглядно изобразить множество решений системы неравенств, которое обычно представляет собой некоторую геометрическую фигуру (многоугольник, угол, круг и т.д.).

Ответ: При решении систем неравенств числовая плоскость помогает представить каждое неравенство в виде области на плоскости. Решением системы является пересечение (общая часть) этих областей.

3. Диофантовы уравнения.

Поскольку в вопросе не приведено конкретное уравнение, ниже представлено развернутое объяснение темы «Диофантовы уравнения» с определениями, примерами и методами решения.

а) Определение и история

Диофантовым уравнением называется алгебраическое уравнение с целыми коэффициентами, для которого требуется найти целочисленные или, в некоторых случаях, рациональные решения. Обычно это уравнение содержит две или более неизвестные переменные.

Название происходит от имени древнегреческого математика Диофанта Александрийского, жившего в III веке н.э. В своем знаменитом труде «Арифметика» он впервые систематически исследовал подобные уравнения и предложил методы для их решения. Диофантовы уравнения являются центральным объектом изучения в теории чисел и часто приводят к глубоким и сложным математическим задачам.

Ответ: Диофантовы уравнения — это полиномиальные уравнения с целыми коэффициентами, решения которых ищутся в целых числах. Они названы в честь древнегреческого математика Диофанта.

б) Линейные диофантовы уравнения с двумя переменными

Простейшим и наиболее изученным типом диофантовых уравнений являются линейные уравнения вида $ax + by = c$, где $a, b, c$ — заданные целые числа, а $x, y$ — неизвестные целые числа.

Условие разрешимости: Такое уравнение имеет целочисленные решения тогда и только тогда, когда правая часть $c$ делится нацело на наибольший общий делитель (НОД) коэффициентов $a$ и $b$. Формально: $\text{НОД}(a, b) | c$.

Алгоритм решения:

1. Найти $d = \text{НОД}(a, b)$ с помощью алгоритма Евклида.
2. Проверить, делится ли $c$ на $d$. Если нет, решений в целых числах не существует.
3. Если $c$ делится на $d$, найти частное решение $(x_0, y_0)$. Для этого сначала с помощью расширенного алгоритма Евклида находят целые числа $u$ и $v$ такие, что $au + bv = d$. Затем, поскольку $c = k \cdot d$ для некоторого целого $k$, частное решение исходного уравнения будет $x_0 = u \cdot k$, $y_0 = v \cdot k$.
4. Записать общее решение. Если $(x_0, y_0)$ — частное решение, то все решения уравнения описываются формулами:
$x = x_0 + \frac{b}{d} t$
$y = y_0 - \frac{a}{d} t$
где $t$ — любое целое число ($t \in \mathbb{Z}$).

Пример: Решить в целых числах уравнение $12x + 18y = 42$.

1. Находим $\text{НОД}(12, 18)$. По алгоритму Евклида: $18 = 1 \cdot 12 + 6$, $12 = 2 \cdot 6 + 0$. Значит, $d = \text{НОД}(12, 18) = 6$.

2. Проверяем условие: $42$ делится на $6$ ($42 = 7 \cdot 6$). Решения существуют.

3. Находим частное решение. Из первого шага алгоритма Евклида выражаем НОД: $6 = 18 - 1 \cdot 12$. То есть $12(-1) + 18(1) = 6$. Мы нашли $u=-1, v=1$. Так как $42 = 6 \cdot 7$, умножаем $u$ и $v$ на 7:
$x_0 = -1 \cdot 7 = -7$
$y_0 = 1 \cdot 7 = 7$
Проверка: $12(-7) + 18(7) = -84 + 126 = 42$. Верно.

4. Записываем общее решение ($d=6$):
$x = -7 + \frac{18}{6} t = -7 + 3t$
$y = 7 - \frac{12}{6} t = 7 - 2t$
где $t$ — любое целое число.

Ответ: Линейное диофантово уравнение $ax+by=c$ разрешимо в целых числах, если $c$ делится на $\text{НОД}(a,b)$, а его общее решение можно найти с помощью расширенного алгоритма Евклида.

в) Примеры нелинейных диофантовых уравнений

Нелинейные диофантовы уравнения значительно сложнее, и для них не существует единого алгоритма решения. Рассмотрим несколько знаменитых примеров.

Уравнение Пифагора: $x^2 + y^2 = z^2$

Его целочисленные решения $(x, y, z)$ называются пифагоровыми тройками. Все примитивные пифагоровы тройки (т.е. те, где $x, y, z$ взаимно просты) можно получить по формулам Евклида:
$x = m^2 - k^2$
$y = 2mk$
$z = m^2 + k^2$
где $m, k$ — взаимно простые натуральные числа разной четности и $m > k > 0$. Например, при $m=2, k=1$ получаем тройку $(3, 4, 5)$.

Уравнение Пелля: $x^2 - ny^2 = 1$

Здесь $n$ — заданное натуральное число, не являющееся полным квадратом. Уравнение всегда имеет тривиальное решение $(\pm 1, 0)$. Кроме того, оно всегда имеет бесконечное множество нетривиальных решений. Все они могут быть получены из так называемого фундаментального решения $(x_1, y_1)$ — наименьшего положительного решения. Остальные решения $(x_k, y_k)$ находятся из соотношения:
$x_k + y_k\sqrt{n} = (x_1 + y_1\sqrt{n})^k$
где $k$ — любое целое число. Фундаментальное решение можно найти с помощью аппарата цепных дробей для числа $\sqrt{n}$.

Великая теорема Ферма: $x^n + y^n = z^n$

Это, пожалуй, самое известное диофантово уравнение. Теорема, сформулированная Пьером Ферма в 1637 году, утверждает, что для любого натурального числа $n > 2$ это уравнение не имеет решений в целых ненулевых числах $x, y, z$. Эта гипотеза оставалась недоказанной более 350 лет и была полностью доказана лишь в 1994 году Эндрю Уайлсом, что стало одним из величайших достижений математики XX века.

Ответ: Известные нелинейные диофантовы уравнения, такие как уравнение Пифагора, Пелля и Ферма, демонстрируют разнообразие и сложность этой области математики, требуя для решения специальных подходов.

г) Общие методы решения

Хотя универсального метода решения не существует, есть несколько общих подходов к анализу диофантовых уравнений.

Метод разложения на множители: Уравнение преобразуется к виду, где одна часть представляет собой произведение нескольких сомножителей, а другая — целое число. Затем перебираются все возможные целочисленные делители этого числа.
Пример: $xy - x - y = 1 \Rightarrow (x-1)(y-1) - 1 = 1 \Rightarrow (x-1)(y-1) = 2$.
Поскольку $x$ и $y$ целые, то $(x-1)$ и $(y-1)$ — целые делители числа 2. Возможные пары множителей: $(1, 2), (2, 1), (-1, -2), (-2, -1)$.
Это дает четыре решения для $(x,y)$: $(2, 3), (3, 2), (0, -1), (-1, 0)$.

Использование сравнений по модулю: Уравнение рассматривается по некоторому целому модулю $m$. Если получившееся сравнение не имеет решений, то и исходное диофантово уравнение не имеет решений. Этот метод особенно полезен для доказательства неразрешимости.
Пример: доказать, что $x^2 - 5y^2 = 3$ не имеет решений в целых числах.
Рассмотрим уравнение по модулю 5: $x^2 - 5y^2 \equiv 3 \pmod{5}$, что упрощается до $x^2 \equiv 3 \pmod{5}$.
Однако квадраты целых чисел по модулю 5 могут быть равны только $0^2 \equiv 0$, $(\pm 1)^2 \equiv 1$, $(\pm 2)^2 \equiv 4$. Таким образом, $x^2$ никогда не может быть сравним с 3 по модулю 5. Следовательно, решений нет.

Метод бесконечного спуска: Метод доказательства от противного, разработанный Ферма. Предполагается, что существует хотя бы одно решение в натуральных числах. Затем из этого решения строится другое, "меньшее" в каком-то смысле (например, с меньшим значением одной из переменных). Этот процесс можно продолжать бесконечно, получая бесконечную убывающую последовательность натуральных чисел, что невозможно. Это противоречие доказывает, что исходное предположение о существовании решения было неверным.

Ответ: К основным методам решения диофантовых уравнений относятся разложение на множители, применение модульной арифметики для сужения поиска или доказательства неразрешимости, а также метод бесконечного спуска для доказательства отсутствия решений.

4. Классические неравенства о средних и их применения.

Классические неравенства о средних

Для любого набора из $n$ неотрицательных действительных чисел $a_1, a_2, \dots, a_n$ определяются следующие средние величины:

• Среднее гармоническое (H): вычисляется как $n$, деленное на сумму обратных величин этих чисел.
  $H(a_1, \dots, a_n) = \frac{n}{\frac{1}{a_1} + \frac{1}{a_2} + \dots + \frac{1}{a_n}}$

• Среднее геометрическое (G): вычисляется как корень $n$-й степени из произведения этих чисел.
  $G(a_1, \dots, a_n) = \sqrt[n]{a_1 a_2 \dots a_n}$

• Среднее арифметическое (A): вычисляется как сумма чисел, деленная на их количество.
  $A(a_1, \dots, a_n) = \frac{a_1 + a_2 + \dots + a_n}{n}$

• Среднее квадратичное (Q): вычисляется как квадратный корень из среднего арифметического квадратов этих чисел.
  $Q(a_1, \dots, a_n) = \sqrt{\frac{a_1^2 + a_2^2 + \dots + a_n^2}{n}}$

Эти средние величины связаны между собой классическими неравенствами, которые утверждают, что для любого набора неотрицательных чисел $a_1, \dots, a_n$ выполняется следующая цепочка неравенств:

$\frac{n}{\frac{1}{a_1} + \dots + \frac{1}{a_n}} \le \sqrt[n]{a_1 \dots a_n} \le \frac{a_1 + \dots + a_n}{n} \le \sqrt{\frac{a_1^2 + \dots + a_n^2}{n}}$

Или, в краткой форме:

$H \le G \le A \le Q$

Равенство во всех неравенствах достигается тогда и только тогда, когда все числа $a_1, a_2, \dots, a_n$ равны между собой.

Доказательство неравенства Коши (между средним арифметическим и средним геометрическим, $A \ge G$)

Наиболее известной частью этой цепочки является неравенство Коши. Мы докажем его методом математической индукции (прямой и обратной), предложенным самим Коши.

1. База индукции: $n=2$. Нужно доказать, что $\frac{a_1+a_2}{2} \ge \sqrt{a_1 a_2}$.
Это неравенство эквивалентно $a_1+a_2 \ge 2\sqrt{a_1 a_2}$, что в свою очередь равносильно $a_1 - 2\sqrt{a_1 a_2} + a_2 \ge 0$, или $(\sqrt{a_1}-\sqrt{a_2})^2 \ge 0$. Последнее неравенство очевидно верно для любых неотрицательных $a_1, a_2$. Равенство достигается при $a_1=a_2$.

2. Индукционный переход (прямой): докажем, что если неравенство верно для $n=k$, то оно верно и для $n=2k$.
Пусть даны числа $a_1, \dots, a_{2k}$. Разобьем их на две группы и применим предположение индукции и базу индукции:
$\frac{a_1 + \dots + a_{2k}}{2k} = \frac{1}{2} \left( \frac{a_1 + \dots + a_k}{k} + \frac{a_{k+1} + \dots + a_{2k}}{k} \right) \ge \frac{1}{2} (\sqrt[k]{a_1 \dots a_k} + \sqrt[k]{a_{k+1} \dots a_{2k}})$
Теперь применим базу индукции для двух чисел $X = \sqrt[k]{a_1 \dots a_k}$ и $Y = \sqrt[k]{a_{k+1} \dots a_{2k}}$:
$\frac{X+Y}{2} \ge \sqrt{XY} = \sqrt{\sqrt[k]{a_1 \dots a_k} \cdot \sqrt[k]{a_{k+1} \dots a_{2k}}} = \sqrt[2k]{a_1 \dots a_{2k}}$
Таким образом, мы доказали, что $A \ge G$ для всех $n$, являющихся степенями двойки ($2, 4, 8, \dots$).

3. Индукционный переход (обратный): докажем, что если неравенство верно для $n$, то оно верно и для $n-1$.
Пусть даны числа $a_1, \dots, a_{n-1}$. Обозначим их среднее арифметическое как $A_{n-1} = \frac{a_1 + \dots + a_{n-1}}{n-1}$. Возьмем эти $n-1$ чисел и добавим к ним число $a_n = A_{n-1}$. Теперь у нас есть $n$ чисел. Применим к ним неравенство $A \ge G$, которое по предположению верно для $n$ чисел:
$\frac{a_1 + \dots + a_{n-1} + A_{n-1}}{n} \ge \sqrt[n]{a_1 \dots a_{n-1} \cdot A_{n-1}}$
Преобразуем левую часть: $\frac{(n-1)A_{n-1} + A_{n-1}}{n} = \frac{nA_{n-1}}{n} = A_{n-1}$.
Получаем: $A_{n-1} \ge \sqrt[n]{(a_1 \dots a_{n-1}) \cdot A_{n-1}}$.
Возведем обе части в степень $n$: $A_{n-1}^n \ge (a_1 \dots a_{n-1}) \cdot A_{n-1}$.
Разделим на $A_{n-1}$ (если $A_{n-1} > 0$): $A_{n-1}^{n-1} \ge a_1 \dots a_{n-1}$.
Извлечем корень степени $n-1$: $A_{n-1} \ge \sqrt[n-1]{a_1 \dots a_{n-1}}$.
Если $A_{n-1} = 0$, то все $a_i=0$ и неравенство тривиально. Таким образом, неравенство доказано для $n-1$.
Сочетание прямого и обратного шагов доказывает неравенство для всех натуральных $n$.

Неравенство $G \ge H$ доказывается применением $A \ge G$ к числам $\frac{1}{a_1}, \dots, \frac{1}{a_n}$.
Неравенство $Q \ge A$ является следствием неравенства Коши-Буняковского.

Ответ: Для любого набора неотрицательных чисел $a_1, \dots, a_n$ их среднее гармоническое (H), геометрическое (G), арифметическое (A) и квадратичное (Q) связаны соотношением $H \le G \le A \le Q$, причем равенство достигается только в том случае, когда все числа равны.

Их применения

Неравенства о средних являются мощным инструментом для решения широкого круга задач, в основном связанных с нахождением наименьших и наибольших значений (оптимизацией) и доказательством других, более сложных неравенств.

Пример 1: Геометрическая задача
Найти прямоугольник наибольшей площади при заданном периметре $P$.
Решение: Пусть стороны прямоугольника равны $x$ и $y$. Тогда периметр $P = 2(x+y)$, а площадь $S = xy$. Нам нужно максимизировать $S$ при постоянном $P$.
Из формулы периметра имеем $x+y = P/2$.
Применим неравенство о среднем арифметическом и среднем геометрическом для двух положительных чисел $x$ и $y$:
$\frac{x+y}{2} \ge \sqrt{xy}$
Подставим известные величины: $\frac{P/2}{2} \ge \sqrt{S}$, то есть $\frac{P}{4} \ge \sqrt{S}$.
Возведя в квадрат, получим $S \le \frac{P^2}{16}$.
Максимальное значение площади $S_{max} = P^2/16$ достигается, когда в неравенстве о средних имеет место равенство, то есть когда $x=y$. Это означает, что из всех прямоугольников с заданным периметром наибольшую площадь имеет квадрат.
Ответ: Прямоугольник наибольшей площади при заданном периметре является квадратом.

Пример 2: Нахождение минимального значения функции
Найти наименьшее значение функции $f(x) = x + \frac{9}{x}$ при $x>0$.
Решение: Рассмотрим два положительных числа: $a_1=x$ и $a_2=\frac{9}{x}$.
По неравенству Коши ($A \ge G$):
$\frac{x + \frac{9}{x}}{2} \ge \sqrt{x \cdot \frac{9}{x}}$
$\frac{x + \frac{9}{x}}{2} \ge \sqrt{9}$
$\frac{f(x)}{2} \ge 3$
$f(x) \ge 6$
Таким образом, наименьшее значение функции равно 6. Оно достигается при условии равенства, то есть когда $x = \frac{9}{x}$, откуда $x^2=9$. Так как $x>0$, получаем $x=3$.
Ответ: Наименьшее значение функции равно 6.

Пример 3: Доказательство неравенств
Доказать, что для любых положительных чисел $a, b, c$ выполняется неравенство $(a+b)(b+c)(c+a) \ge 8abc$.
Решение: Применим неравенство $A \ge G$ для каждой из трех пар чисел:
1. Для $a$ и $b$: $\frac{a+b}{2} \ge \sqrt{ab}$ $\implies$ $a+b \ge 2\sqrt{ab}$
2. Для $b$ и $c$: $\frac{b+c}{2} \ge \sqrt{bc}$ $\implies$ $b+c \ge 2\sqrt{bc}$
3. Для $c$ и $a$: $\frac{c+a}{2} \ge \sqrt{ca}$ $\implies$ $c+a \ge 2\sqrt{ca}$
Поскольку все части этих неравенств положительны, мы можем их перемножить:
$(a+b)(b+c)(c+a) \ge (2\sqrt{ab})(2\sqrt{bc})(2\sqrt{ca})$
$(a+b)(b+c)(c+a) \ge 8 \sqrt{a^2 b^2 c^2}$
$(a+b)(b+c)(c+a) \ge 8abc$
Неравенство доказано. Равенство достигается, когда $a=b$, $b=c$ и $c=a$, то есть при $a=b=c$.
Ответ: Неравенство $(a+b)(b+c)(c+a) \ge 8abc$ доказано с помощью трехкратного применения неравенства Коши.

Ответ: Неравенства о средних применяются для нахождения экстремальных значений (максимумов и минимумов) в алгебраических и геометрических задачах, а также для доказательства других, более сложных математических неравенств.

5. Решение неравенств с помощью обобщённого метода интервалов.

Обобщённый метод интервалов — это стандартный алгоритм для решения сложных неравенств вида $f(x) > 0$, $f(x) < 0$, $f(x) \ge 0$ или $f(x) \le 0$. Суть метода заключается в том, чтобы найти все точки, в которых функция $f(x)$ может поменять знак (то есть её нули и точки разрыва), нанести их на числовую ось и определить знак функции на каждом из получившихся интервалов.

Алгоритм решения неравенств обобщённым методом интервалов:

1. Привести неравенство к виду $f(x) \vee 0$, где $\vee$ — это один из знаков неравенства ($>, <, \ge, \le$). Для этого все слагаемые переносятся в левую часть.
2. Найти область определения (ОДЗ) функции $f(x)$, то есть все значения $x$, при которых выражение $f(x)$ имеет смысл. Необходимо исключить значения $x$, при которых происходит деление на ноль, извлечение корня чётной степени из отрицательного числа, вычисление логарифма от неположительного числа и т.д.
3. Найти нули функции $f(x)$, решив уравнение $f(x) = 0$.
4. Нанести на числовую ось нули функции и точки, которые не входят в ОДЗ (точки разрыва). Эти точки разобьют числовую ось на интервалы.
   • Если неравенство строгое ($>$ или $<$), все точки на оси отмечаются как выколотые (пустые кружки).
   • Если неравенство нестрогое ($\ge$ или $\le$), нули функции, принадлежащие ОДЗ, отмечаются как закрашенные (сплошные кружки), а точки разрыва — всегда выколотые.
5. Определить знак функции $f(x)$ на каждом из полученных интервалов. Для этого нужно взять любую "пробную" точку из интервала, подставить её в $f(x)$ и вычислить знак. Далее можно расставить знаки на остальных интервалах, используя правило чередования: при переходе через корень нечётной кратности знак меняется, а при переходе через корень чётной кратности (например, $(x-a)^2$) — не меняется.
6. Выбрать интервалы, которые удовлетворяют знаку исходного неравенства.
7. Записать ответ в виде объединения этих интервалов.

Пример 1

Решить неравенство $\frac{(x^2 - 4)(x+1)}{x-3} \le 0$.

1. Неравенство уже приведено к нужному виду. Разложим числитель на множители: $f(x) = \frac{(x-2)(x+2)(x+1)}{x-3}$.

2. ОДЗ: Знаменатель не равен нулю, $x - 3 \neq 0 \implies x \neq 3$.

3. Нули функции: $f(x) = 0$, если числитель равен нулю: $(x-2)(x+2)(x+1) = 0$. Корни: $x_1 = 2$, $x_2 = -2$, $x_3 = -1$.

4. Нанесение точек на ось: Отметим на оси нули $-2, -1, 2$ и точку разрыва $3$. Неравенство нестрогое ($\le$), поэтому нули будут закрашенными, а точка разрыва — выколотой.

 - + - + -----⚫-------⚫-------⚫-------⚪------> -2 -1 2 3 x

5. Определение знаков: Возьмём пробную точку из крайнего правого интервала $(3; +\infty)$, например, $x=4$.
$f(4) = \frac{(4-2)(4+2)(4+1)}{4-3} = \frac{2 \cdot 6 \cdot 5}{1} > 0$. Ставим знак "+".
Все корни $(-2, -1, 2, 3)$ имеют кратность 1 (нечётную), поэтому знаки будут чередоваться: "+", "-", "+", "-".

6. Выбор интервалов: Нам нужны интервалы, где $f(x) \le 0$. Это интервалы со знаком "минус", включая закрашенные концы.
Получаем объединение интервалов: $(-\infty; -2] \cup [-1; 2]$.

Ответ: $x \in (-\infty; -2] \cup [-1; 2]$.

Пример 2

Решить неравенство $\frac{(x-5)^2 (x+1)}{\sqrt{x+4}(x-8)} \ge 0$.

1. Неравенство имеет вид $f(x) \ge 0$.

2. ОДЗ:
- Выражение под корнем в знаменателе должно быть строго больше нуля: $x+4 > 0 \implies x > -4$.
- Знаменатель не равен нулю: $x-8 \neq 0 \implies x \neq 8$.
Итоговая ОДЗ: $x \in (-4; 8) \cup (8; +\infty)$.

3. Нули функции: $f(x) = 0$, если числитель равен нулю: $(x-5)^2(x+1) = 0$.
Корни: $x_1 = 5$ (корень кратности 2, чётная), $x_2 = -1$. Оба корня входят в ОДЗ.

4. Нанесение точек на ось: Наносим на ось точки $-1, 5, 8$, учитывая ОДЗ ($x>-4$). Точки $-1$ и $5$ — закрашенные (нестрогое неравенство), точка $8$ — выколотая (знаменатель).

 + + - +(-4)------⚫-------⚫---//---⚪-------> -1 5 8 x

5. Определение знаков: Возьмём пробную точку из интервала $(8; +\infty)$, например, $x=10$.
$f(10) = \frac{(10-5)^2(10+1)}{\sqrt{10+4}(10-8)} = \frac{(+)(+)}{(+)(+)} > 0$. Знак "+".
- При переходе через $x=8$ (корень нечётной кратности 1) знак меняется на "-".
- При переходе через $x=5$ (корень чётной кратности 2) знак не меняется, остаётся "-".
- При переходе через $x=-1$ (корень нечётной кратности 1) знак меняется на "+".

6. Выбор интервалов: Нам нужны интервалы, где $f(x) \ge 0$. Это интервалы со знаком "+" и отдельные закрашенные точки.
- Интервалы: $(-4; -1]$ и $(8; +\infty)$.
- Отдельно стоящая точка $x=5$ также является решением, так как в ней $f(5)=0$, что удовлетворяет условию $f(x) \ge 0$.
Объединяем полученные множества.

Ответ: $x \in (-4; -1] \cup \{5\} \cup (8; +\infty)$.

6. Геометрические подходы к исследованию решений уравнений и систем уравнений.

Геометрический подход к решению уравнений и их систем заключается в замене алгебраических операций геометрическими построениями и интерпретациями. Уравнения и неравенства рассматриваются как аналитические задания геометрических фигур (точек, линий, поверхностей, тел), а решение сводится к нахождению взаимного расположения этих фигур и определению координат их общих точек.

Основные принципы геометрического подхода

Ключевая идея состоит в переходе от языка алгебры к языку геометрии. Это осуществляется путем введения системы координат (чаще всего декартовой).

• Уравнение вида $f(x) = g(x)$ с одной переменной $x$ интерпретируется как задача о нахождении абсцисс точек пересечения графиков двух функций: $y = f(x)$ и $y = g(x)$. Количество решений уравнения равно количеству точек пересечения, а сами решения — их абсциссы.

• Уравнение вида $F(x, y) = 0$ с двумя переменными $x$ и $y$ задает на координатной плоскости некоторую линию (кривую). Например, $ax+by+c=0$ — прямая, а $(x-a)^2 + (y-b)^2 = R^2$ — окружность.

• Система уравнений с двумя переменными $\begin{cases} F_1(x, y) = 0 \\ F_2(x, y) = 0 \end{cases}$ геометрически означает нахождение координат общих точек двух линий, заданных этими уравнениями. Количество решений системы равно количеству точек пересечения.

• Аналогично, в трехмерном пространстве уравнение $F(x, y, z) = 0$ задает поверхность, а система уравнений — пересечение этих поверхностей.

Примеры применения

1. Решение уравнений с одной переменной

Чтобы определить количество корней уравнения $x^3 - x + 1 = 0$, можно представить его в виде $x^3 = x - 1$. Построим в одной системе координат графики функций $y = x^3$ (кубическая парабола) и $y = x - 1$ (прямая). Визуально можно определить, что графики пересекаются в одной точке, следовательно, уравнение имеет один действительный корень.

2. Решение систем уравнений

Рассмотрим систему линейных уравнений: $\begin{cases} 2x + y = 5 \\ x - y = 1 \end{cases}$.

Каждое уравнение задает прямую на плоскости: $y = -2x + 5$ и $y = x - 1$. Решение системы — это точка пересечения этих прямых. Построив графики, мы найдем точку $(2, 1)$, которая и является решением.

В общем случае две прямые на плоскости могут:

• Пересекаться в одной точке (система имеет единственное решение).

• Быть параллельными и не совпадать (система не имеет решений).

• Совпадать (система имеет бесконечно много решений).

3. Исследование уравнений и систем с параметрами

Геометрический подход особенно эффективен при решении задач с параметрами. В таких задачах требуется найти, при каких значениях параметра уравнение или система удовлетворяет определенным условиям (например, имеет заданное число решений).

Задача: Найти все значения параметра $a$, при которых система уравнений $\begin{cases} x^2 + y^2 = 4 \\ y = |x| + a \end{cases}$ имеет ровно два решения.

Решение: Первое уравнение $x^2 + y^2 = 4$ задает окружность с центром в начале координат и радиусом $R=2$. Второе уравнение $y = |x| + a$ задает график, состоящий из двух лучей, исходящих из точки $(0, a)$ и образующих "уголок", ветви которого направлены вверх.

Параметр $a$ отвечает за вертикальный сдвиг этого "уголка". Нам нужно найти такие значения $a$, при которых "уголок" и окружность имеют ровно две общие точки.

1. Если вершина "уголка" $(0, a)$ находится на окружности, т.е. $a=2$, то "уголок" касается окружности в точке $(0, 2)$ и пересекает ее в двух других точках. Всего 3 решения. Это нам не подходит.

2. Если "уголок" проходит через самую нижнюю точку окружности $(0, -2)$, т.е. $a=-2$, то мы имеем две точки пересечения. Это одно из искомых значений.

3. Если прямые $y=x+a$ и $y=-x+a$ касаются окружности в боковых точках. Расстояние от центра окружности $(0,0)$ до прямой $x-y+a=0$ (или $x+y-a=0$) должно быть равно радиусу $R=2$.

   Используем формулу расстояния от точки до прямой: $d = \frac{|A x_0 + B y_0 + C|}{\sqrt{A^2 + B^2}}$.

   $d = \frac{|1 \cdot 0 - 1 \cdot 0 + a|}{\sqrt{1^2 + (-1)^2}} = \frac{|a|}{\sqrt{2}}$.

   Приравниваем расстояние радиусу: $\frac{|a|}{\sqrt{2}} = 2 \implies |a| = 2\sqrt{2}$.

   При $a = 2\sqrt{2}$ "уголок" касается окружности в двух точках. Это еще два решения. При $a = -2\sqrt{2}$ "уголок" вообще не пересекает окружность.

Анализируя все случаи, получаем, что система имеет ровно два решения при $a = 2\sqrt{2}$ и при $a = -2$.

Ответ: $a \in \{-2, 2\sqrt{2}\}$.

4. Использование свойств геометрических фигур и векторов

Иногда алгебраическое выражение можно интерпретировать как расстояние между точками или как скалярное произведение векторов. Это позволяет заменить громоздкие вычисления простыми геометрическими рассуждениями.

Задача: Решить уравнение $\sqrt{x^2 + (y-1)^2} + \sqrt{(x-5)^2 + (y+4)^2} = \sqrt{50}$.

Решение: Введем на плоскости точки $P(x, y)$, $A(0, 1)$ и $B(5, -4)$. Тогда левая часть уравнения представляет собой сумму расстояний $|PA| + |PB|$.

Найдем расстояние между точками A и B: $|AB| = \sqrt{(5-0)^2 + (-4-1)^2} = \sqrt{5^2 + (-5)^2} = \sqrt{25+25} = \sqrt{50}$.

Уравнение принимает вид $|PA| + |PB| = |AB|$. Согласно неравенству треугольника, это равенство выполняется тогда и только тогда, когда точка $P$ лежит на отрезке, соединяющем точки $A$ и $B$.

Таким образом, множество решений — это все точки отрезка AB.

Ответ: Множество точек $(x,y)$, принадлежащих отрезку с концами в точках $(0,1)$ и $(5,-4)$.

В заключение, геометрические подходы являются мощным инструментом для исследования и решения уравнений. Они позволяют визуализировать задачу, оценить количество решений, найти их приближенно и, в ряде случаев, получить точное решение более простым и изящным способом, чем чисто аналитическими методами.